洛谷P3803 【模板】多项式乘法 [NTT]

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多项式乘法

题目描述

给定一个n次多项式F(x)，和一个m次多项式G(x)。

请求出F(x)和G(x)的卷积。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行2个正整数n,m。

接下来一行n+1个数字，从低到高表示F(x)的系数。

接下来一行m+1个数字，从低到高表示G(x))的系数。

 

输出格式：

 

一行n+m+1个数字，从低到高表示F(x)∗G(x)的系数。

 

输入输出样例

输入样例#1： 

1 2
1 2
1 2 1

输出样例#1： 

1 4 5 2

说明

保证输入中的系数大于等于 0 且小于等于9。

对于100%的数据： $n, m \leq {10}^6$ , 共计20个数据点，2s。

数据有一定梯度。

空间限制：256MB

 

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　　分析：

　　没错，这是一道FFT模板，于是我们愉快地用NTT把它A了。

　　平常用的较多的都是FFT，但是FFT使用的是复数，需要开double类型，常数会比较大。但有时候我们需要求的都是整型，那么用NTT（快速数论变换）就可以把常数降低很多。具体实现理论和FFT基本无异，不过我们要把单位根换成原根，因为原根也满足单位根的性质，最后就可得到一个结论：$w_n \equiv g^{\frac {p-1} {n}} \pmod p$。具体的理论推荐这位大佬的博客。（吐槽一句，为什么开了O2之后不管是FFT还是NTT都反而更慢了？？？难道是我的代码写得太优秀？？？）

　　Code：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3e6+7;
const int mod=998244353;
int n,m,lim,r[N];
int G=3,Gi=332748118;
ll a[N],b[N];
inline ll read()
{
    char ch=getchar();ll num=0;bool flag=false;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')flag=true;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){num=num*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return flag?-num:num;
}
inline void Swap(ll &x,ll &y)
{
    x^=y,y^=x,x^=y;
}
inline ll power(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=(ret*x)%mod;
        y>>=1;x=(x*x)%mod;}
    return ret;
}
inline void ntt(ll *A,int type)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)
    if(i<r[i])Swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
        ll wn=power((type==1)?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1));
        for(int j=0;j<lim;j+=(mid<<1)){
            ll w=1;
            for(int k=0;k<mid;w=(w*wn)%mod,k++){
                ll x=A[j+k],y=A[mid+j+k]*w%mod;
                A[j+k]=(x+y)%mod;
                A[mid+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        } 
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=(read()+mod)%mod;
    for(int i=0;i<=m;i++)b[i]=(read()+mod)%mod;
    m+=n;n=0;
    for(lim=1;lim<=m;lim<<=1)n++;
    for(int i=0;i<lim;i++)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(n-1));
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(a[i]*b[i])%mod;
    ntt(a,-1);ll inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<=m;i++)
    printf("%lld ",(a[i]*inv)%mod);
    return 0;
}