差分约束算法

差分约束系统

首先，我们先介绍一下什么是差分约束系统。

定义：如果一个系统由\(n\)个变量和\(m\)个约束条件组成，形成\(m\)个形如\(a_i-a_j \leq k\)的不等式 。 \(i,j\in \left [ 1,n \right ]\) 且 \(k\)为常数。

（不绝对，若为\(a_i-a_j \geq k\)，即是最长路）

可以理解为：差分约束是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。（即： 线性规划问题 ）

举个例子：

在样例中，如果我们把不等式等价成矩阵的形式，即：

\[\begin{bmatrix} 1& -1& 0 \\ 0& 1& -1 \\ 1& 0& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} 3\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} \]

关于上面这个不等式的解，可以是\(x=\left( 5,3,5\right)\)，也可以是\(x=\left( 0,-2,0\right)\)

观察两个解，不难看出：两解相差一个定值 5。

所以，我们可以得出一个结论：

设\(x=\left( x_1,x_2,x_3,...,x_n\right)\)是不等式的一个解。设\(d\)为任意常数，则\(x+d=\left( x_1+d,x_2+d,x_3+d,...,x_n+d\right)\)也是该不等式的一个解。

说话讲道理，证明：

对于每一个\(x_i,x_j\)，我们有\(\left(x_i+d\right)-\left(x_j+d\right)=x_i-x_j\)。因此若\(x\)满足不等式，\(x+d\)也满足。

（这也是这一题special judge的原因）

约束图

刚刚分析了差分约束系统。那这一问题和图论又有什么关系呢？

敏感的小伙伴在看到上面的矩阵时，应该就反应过来了。

这是一个有向无环图的关联矩阵。

对于矩阵\(B=b_{ij}\)而言：

\[\left\{\begin{matrix} -1& \mbox{如果边$j$从节点$i$出发}\\ 1& \mbox{如果边$j$进入节点$i$}\\ 0& \mbox{其他} \end{matrix}\right. \]

（即： 从减数指向被减数 ）

再将边的权重赋值为不等式的常数\(k\)。

最后构造一个点（起点），从其出发可以到达所有其他节点，权值赋为0。

即构成了差分约束系统的约束图。

求解

对于约束图，若图中不存在负环。则起点到每个边的最短路权值，即为差分约束系统的一个可行解。

若存在负环，则无解。

代码如下（SPFA判负环）

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 500000
using namespace std;
int adj[MAXN],cnt=0,num[MAXN];
int dis[MAXN],ori=0,n,m;;
bool vis[MAXN];
queue < int > q;
struct EDGE
{
	int to,nxt,val;
}	e[MAXN];
void addedge(int u,int v,int w)
{
	e[++cnt].to=v; e[cnt].val=w; e[cnt].nxt=adj[u]; adj[u]=cnt;
}
bool SPFA()
{
	for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=(i==ori ? 0 : INF);
	q.push(ori); vis[ori]=1; ++num[ori];
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=0;
		for(int i=adj[u];i;i=e[i].nxt) 
		{
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].val) 
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].val;
				if(!vis[v])
				{
					vis[v]=1;q.push(v);
					++num[v];
					if(num[v]>n)	return 0;
				}

			}
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i) addedge(0,i,0);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int u,v,w;	scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		addedge(v,u,w);
	}
	if(SPFA())
		for(int i=1;i<=n;++i)	printf("%d ",dis[i]);
	else
		printf("NO");
	return 0;
}

补充：

差分约束在实际应用中很丰富。可以是最短路径，也可以是最长路径。

在实际问题中，要尽可能的把题目中个不等关系找全。（如：\(0 \leq x_2-x_1\leq 1\)，前半个容易丢）

参考资料：《算法导论》