五三P8讲解

T3

观察到要求的为 $\max (\lambda + \sqrt{3}\mu) $ 很自然想到等和线。

又因为 \(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AD}\)

\[\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB} + (\sqrt{3}\mu) (\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{AD}) \]

令 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE}\)， 连接 \(BE\)，若 \(\lambda + \sqrt{3}\mu = 1\) 则 \(P\) 在 \(BE\) 上

而题中给出了 $$AP = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

那么 $$k = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

\[k = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

T6 (3)

\[OE = \frac{3}{2} OC \gt OB = \sqrt{2} OC \]

即 \(P\) 在 \(BC\) 运动过程中 \(OG \lt OE\)

而 \(\lambda\) 显然有单调递减。

\(\therefore \lambda \cdot \mu \in [0,\frac{3}{4}]\)