层次分析法

需要评价指标：网络搜索……

问题描述

问题分为三层：目标层，准则层，方案层。

以一个经典的旅游地选取为例，问题得层次结构如下：

问题解决步骤

首先，对准则层构造判断矩阵，得到特征向量，验证一致性，若一致性良好，则特征向量可以表示每个准则的权重。

然后，对于准则层的每个准则，都可以构建一个所有方案再该准则上的矩阵，得到特征向量作为所有方案在某个指标上的得分。

最后，再利用权重算总分。

正互反矩阵（判断矩阵）

判断矩阵的作用：

对每一层的指标进行打分，得到指标的权重，然后将这些权重用于下一层的指标。

性质 :

\(A_{ij}*A_{ji}=1\)

\(A_{11}=A_{22}=……=1\)

\(A_{ij}>0\)

一致反矩阵：每一行或每一列成比例

引理：n阶一致反矩阵A的特征值\(λ_{max}=n,\)

当且仅当A为正互反矩阵且不一致时，一定满足\(λ_{max}>n.\)

一致性检验步骤：

一致性检验合格的矩阵才能使用，从而获得权重。

1.计算一致性检验指标\(CI=(λ_{max}n)/(n-1).\)

2.查找对应的平均随机一致性指标RI

3.计算一致性比例\(CR=CI/RI\).(CR<0.1,判断矩阵的一致性可以接受，否则需要修正)

一致矩阵计算权重：

直接算特征向量,以特征值最大的向量的各个分量作为权重。

代码

function [w,t] = AHP(A)
%w为准则层特征向量，t为则层最大特征根
%判别矩阵具有完全一致性
[n,n]=size(A); % 得到矩阵的阶数
[V,D]=eig(A); % 求得特征向量和特征值

% 求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1); % 特征值的初值
pos=1; % 标记的第一个数
for h=1:n
    if D(h,h)>tempNum
        tempNum=D(h,h);
        pos=h; % 最大特征值的位置
    end
end
w=abs(V(:,pos)); % 找最大特征值对应的特征向量
w=w/sum(w); % 归一化处理
t=D(pos,pos); % t指的是最大的特征值
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);

% 一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败，请重新进行评分!');
end

end