有穷自动机

有穷自动机

\(FA\) 模型

转换图(Transition Graph)

• 结点: \(FA\)的状态

• 初始状态: 只有一个, 由start箭头指向

• 终止状态: 可以有多个,用双圈表示

• 带标记的有向边，如果对于输入a ,存在一个从状态p到状态q的转换，就在p，q之间画一条有向边，并标记上a

graph LR start --> x1["0"] x1["0"] --"\na"--> x1 x1["0"] --"\nb"--> x1 x1--"\na"--> x2["1"] x2--"\nb"-->x3["2"] x3--"\nb"-->x4((("3")))

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\(FA\) 定义(接收)的语言

最长子串匹配原则

• 当输入串的多个前缀与一个或多个模式匹配时，总是选择最长的前缀进行匹配

  graph LR start -->x0(("0")) x0 --"<\n\n"--> x1((("1"))) x1--"=\n\n"-->x2((("2"))) x0--"\n\n+"-->x3((("3"))) x3--"\n\n+"-->x4(("4"))

• 在到达某个终态之后，只要输入带上还有符号，FA就继续前进，以便寻找尽可能长的匹配

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\(FA\) 的分类

• 确定的 \(FA\) \((DFA)\)
• 非确定的 \(FA\) \((NFA)\)

\(DFA\)

\[M=(S,\Sigma ,\delta , s_0 ,F) \]

• S : 有穷状态集
• \(\Sigma\) : 输入字母表。即输入符号集合。这里假设 \(\epsilon\) 不是 \(\Sigma\) 中的元素
• \(\delta\) : 将 $S \times \Sigma $ 映射到 \(S\) 的转换函数。\(\forall s \in S ,a \in \Sigma ,\delta(s,a)\)表示从状态s 出发，沿着标记为a的边所能达到的状态。
• \(s_0\) : 初始状态, \(s_0 \in S\)
• \(F\) : 终止状态 , \(F \subseteq S\)
• \(FA \ \Leftrightarrow 正则表达式 \Leftrightarrow 正则文法\)

带有 “\(\epsilon - 边\)” 的\(NFA\)

graph LR start ---->x1(("A")) x1--"\n\n0"-->x1 x2--"\n\n1"-->x2 x3--"\n\n2"-->x3 x1--"e\n\n"-->x2(("B")) x2--"e \n\n"-->x3(("C"))