GCD (最大公因数)的性质

GCD 的性质总结

1. \(gcd(a_1,a_2,......a_n)=gcd(|a_1|,|a_2|,......|a_n|)\)
2. \(gcd(a,0)=gcd(a,a)=|a|\)
3. \(gcd(a_1,a_2,......a_{n-1},a_n)=gcd(gcd(a_1,a_2),a_3,......a_{n-1},a_n)\)
4. 对于不全为零的整数 \(a_1,a_2,a_3,......a_{n-1},a_n, {\forall} 1 < k < n-1\),$$gcd(a_1,a_2,a_3,......a_{n-1},a_n)=gcd(gcd(a_1,a_2,a_3,...a_{k}),gcd(a_{k+1},...,a_n)) $$
5. 对于不全为零的整数 \(a_1,a_2,a_3,......a_{n-1},a_n\) , $$gcd(m\cdot a_1,m\cdot a_2,...m\cdot a_n)=|m|\cdot gcd( a_1,a_2,a_3,......a_{n-1},a_n)$$
6. 对于不全为零的整数 \(a_1,a_2,a_3,......a_{n-1},a_n\) ，若 $$gcd(a_1,a_2,a_3,...,a_n)=d$$ , 则有 $$gcd(\frac{a_1}{d},\frac{a_2}{d},\frac{a_3}{d},...,\frac{a_n}{d})=1$$
7. \(gcd(a_1,a_2,...,a_n,d) \leq d\) ,特别的 \(gcd(a_1,a_2,...,a_n,1)=1\) , 且\(gcd(a_1,a_2,...,a_n)=1\)且 \(a_i != 1\) 是\(a_1,a_2,...,a_n\) 中至少存在一对\(a_i,a_j\) 互质 的充分必要条件.