算法与数据结构 7.5 - 李超线段树

目录

• 前言
• 由来
• 功能
• 用途
• 原理
  • 理论
  • 实现

前言

其实李超线段树应该属于斜率优化的一部分，因为这种数据结构常见用法似乎就是斜率优化。但因为不常见（一般是出题人懒得写），所以分到单独的一章。

由来

李超线段树是杭州学军中学的李超（IOI 2012 Au）发明的。

功能

要求在平面直角坐标系下维护两个操作，强制在线：

1. 在平面上加入一条线段。记第 \(i\) 条被插入的线段的标号为 \(i\)，两端点 \((x_0,y_0)\)，\((x_1,y_1)\)。
2. 给定一个数 \(k\)，询问与直线 \(x = k\) 相交的线段中，交点纵坐标最大的线段的编号。

\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(1 \leq k, x_0, x_1 \leq 39989\)，\(1 \leq y_0, y_1 \leq 10^9\)。、

用途

当使用斜率优化 DP 时，状态转移方程形如：

\[dp[i]=\min/\max\{a[i]\times b[j]+d[j]\}+c[i] \]

上面的式子，去掉 \(\min/\max\) 后简单变形：

\[dp[i]-c[i]=d[j]-(-a[i]\times b[j]) \]

\[b=y-k\times x \]

如果式子中的 \(k\) 部分和 \(x\) 部分均不单调，则可以用李超线段树维护凸壳，以较快的时间复杂度找到最优决策点。

原理

理论

暴力的想法是维护 \(x=i\ (1\le i \le 39989)\) 上最高点的位置，但这样做修改是 \(\mathcal{O}(n\times \text{len})\ (\text{len}=39989)\) 的，显然无法通过本题。考虑到这道题需要进行大量的区间修改操作，于是想到线段树维护答案。

考虑让线段树上每个节点维护 \(x=\frac{l+r}{2}\) 处的最高点的 \(y\) 和线段编号。对于懒惰标记（lazy tag）的下传，分类讨论原区间中的最优线段和新加线段的位置关系：

• 新线段在老线段的上方时：直接更新即可。
• 新线段在老线段的下方时：丢弃。
• 新线段和老线段交叉时，不妨设交点在左子区间：
  • 对于右子区间，考虑上面两种处理方法；
  • 对于左子区间，考虑递归处理。
    其余部分按常规线段树处理即可。时间复杂度和普通线段树一样。

实现

原来的代码过于臃肿，正在重写。