一阶线性微分方程

一阶线性微分方程标准形式

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) \]

• 若 \(Q(x)\equiv 0\)，称为齐次方程

• 若 \(Q(x)\not\equiv 0\)，称为非齐次方程

1. 解齐次方程

\[\quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=0 \]

分离变量

\[\quad \frac{\mathrm{d} y}{y}=-P(x) \mathrm{d} x \]

两边积分得

\[\ln |y|=-\int P(x) \mathrm{d} x+\ln \mid C \]

故通解为

\[y=C \mathrm{e}^{-\mathrm{J} P(x) \mathrm{d} x} \]

2. 解非齐次方程

\[\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+P(x) y=Q(x) \]

用常数变易法作变换

\[y(x)=u(x) \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \]

则

\[u^{\prime} \mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}-P(x)u\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}+P(x)u\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}=Q(x) \\ 即 \quad \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \]

两端积分得

\[u=\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C \]

故原方程的通解

\[y=\mathrm{e}^{-\int P(x) \mathrm{d} x}\left[\int Q(x) \mathrm{e}^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x+C\right] \]