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从“杨辉三角形”谈起

      杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623~1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。

      如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列,就可以得到下面的等式:

      (a+b)0=1 ,    它只有一项,系数为1;
      (a+b)1=a+b ,它有两项,系数分别是1,1;
      (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别是1,2,1;
      (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别是1,3,3,1;
       ……

      由此,可得下面的图表,这个图表就是杨辉三角形。

       观察上图表,我们发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个,中间各数都写在上一行两数中间,且等于它们的和,可以按照这个规律继续将这个表写下去。

【例1】杨辉三角形。

      输入n(1<=n<=30),输出杨辉三角形的前n行。

      (1)编程思路1。

      用一个二维数组 y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row-1行来生成。

例如:

数组元素

Y[row][1]

Y[row][2]

Y[row][3]

Y[row][4]

Y[row][5]

Row=4行

1

3

3

1

0

Row=5行

1

4

6

4

1

      由上表知:当row=5时,              y[5][1] = 1,

                y[5][2] = y[4][1] + y[4][2],   y[5][3] = y[4][2] + y[4][3],

                y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ,  y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]

      一般的,对于第row(1~30)行,该行有row+1个元素,其中:

      y[row][1]=1

      第col(2~row+1)个元素为:  y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。

      (2)源程序1。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,i,j,y[31][31]={0};
      for (i=1;i<=30;i++)        // 赋行首与行尾元素值为1
           y[i][1]=y[i][i]=1;
      for (i=3;i<=30;i++)        // 每行中间元素赋值
           for (j=2;j<i;j++)
               y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
      while (scanf("%d",&n)!=EOF)
      {
           for (i=1;i<=n;i++)
           {
                 for (j=1;j<=i;j++)
                 {
                      if (j!=1) printf(" ");
                          printf("%d",y[i][j]);
                 }
                 printf("\n");
            }
            printf("\n");
      }
      return 0;
}

      (3)编程思路2。

      用一个一维数组 y[30] 来保存杨辉三角形某一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row-1行来生成。

      例如:

数组元素

Y[0]

Y[1]

y[2]

Y[3]

Y[4]

Row-1=3行

1

3

3

1

0

Row=4行

1

4

6

4

1

      由上表知:当row=4时,y[4] = y[4]+y[3],    y[3] = y[3]+y[2],

                        y[2] = y[2]+y[1] ,   y[1] = y[1]+y[0],

                       y[0]=1

      一般的,对于第row(0~9)行,该行有row+1个元素,

       第col(row~1)个元素为:  y[col]=y[col]+y[col-1],

                               y[0]=1

      (4)源程序2。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
      int y[30],row,col,n;
      while (scanf("%d",&n)!=EOF)
      {
            memset(y,0,sizeof(y)); // 数组元素初始化为0
            y[0]=1;
            printf("%d\n",y[0]);
            for (row=1;row<n;row++)
            {
                 for (col=row;col>=1;col--)
                      y[col]=y[col]+y[col -1];
                 for (col=0;col<=row;col++)
                 {
                       if (col!=0) printf(" ");
                       printf("%d",y[col]);
                 }
                 printf("\n");
            }
            printf("\n");
      }
      return 0;
}

      将上面的两个源程序提交给HDU 2032“杨辉三角”,均可以Accepted。

      下面我们进一步讨论一下杨辉三角形。

      我们根据杨辉三角形前16行中每个数的奇偶性决定是否输出一个特定字符。比如如果是奇数,输出一个“*”号;是偶数,输出一个空格。编写如下的程序:

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,i,j,y[17][17]={0};
      for (i=1;i<=16;i++) // 赋行首与行尾元素值为1
          y[i][1]=y[i][i]=1;
      for (i=3;i<=16;i++) // 每行中间元素赋值
           for (j=2;j<i;j++)
                y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
      for (i=1;i<=16;i++)
      {
             for (j=1;j<=i;j++)
                  if (y[i][j]%2==1) printf("* ");
                  else printf(" ");
             printf("\n");
      }
      return 0;
}

      运行上面的程序,可以得到如下的运行结果。

      

       运行结果的图形是一个递归深度为4的三角形。 通过这个图形,我们感觉杨辉三角形中每个数字的奇偶应该满足一定的规律。

     组合数C(n,m)是指从n个元素中选出m个元素的所有组合个数。其通用计算公式为:

         C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]    C(0,0)=1   C(1,0)=1   C(1,1)=1 
     从n个元素中取m个元素,考虑第n个元素,有两种情况:(1)不取。则必须在前n-1个元素中取m个元素,方案数为C(n-1,m);(2)取。则只需在前n-1个元素中取m-1个元素,方案数为C(n-1,m-1)。因此,   C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)   

       这正好符合杨辉三角形的递推公式。 即 杨辉三角中第i行第j列的数字正是C(i,j)的结果。因此,下面对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。

【例2】组合数的奇偶性。 (POJ 3219)

      二项式系数C(n, m)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。二项式系数可以如下递归的定义:

      C(1, 0) = C(1, 1) = 1;
      C(n, 0) = 1   对于所有n > 0;
      C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)   对于所有0 < m ≤ n。

      给出n和k,确定C(n, m)的奇偶性。

      (1)编程思路1。
       对于给定C(n,m),检查n!中2因子的个数与m!和(n-m)!中2因子个数和的关系,假设n!中2因子个数为a,m!中2因子个数为b,(n-m)!中2因子个数为c,则显然有a>=(b+c);并且当a==b+c时,一定为奇,否则为偶。

       (2)源程序1。

#include <stdio.h>
int getTwo(int x)     // x!中2的因子的个数
{
      int cnt=0;
      while (x/2!=0)
      {
           cnt += x/2;
           x=x/2;
       }
       return cnt;
}
int main()
{
      int n,k;
      while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)
      {
            if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0)
                 printf("0\n");
            else
                 printf("1\n");
      }
      return 0;
}

       (3)编程思路2。

      前面通过杨辉三角形中数字的奇偶性输出“*”图时,我们感觉其数字的奇偶性与数字所在的行号和列号有一定的关系,即组合数C(n,m)的奇偶性与n和m有对应关系。

      根据网络上的资料,给出结论如下:

  组合数的奇偶性判定方法为:
  对于C(n,m),若n&m == m  则C(n,m)为奇数,否则为偶数。
  证明:        // 下面的证明采用数学归纳法,如果没兴趣,跳过即可,知道结论好了!

  由C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1);
  对应于杨辉三角:
  1
  1 2 1
  1 3 3 1
  1 4 6 4 1
  ………………
  可以验证前面几层及m = 0时满足结论,下面证明在C(n-1,m)和C(n-1,m-1) (m>0) 满足结论的情况下,C(n,m)满足结论。
  1)假设C(n-1,m)和C(n-1,m-1)为奇数:
  则有:(n-1)&m == m;
             (n-1)&(m-1) == m-1;
  由于m和m-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位,下同)必然是不同的,所以n-1的最后一位必然是1。
  现假设 n&m == m。
  则同样因为n-1和n的最后一位不同推出m的最后一位是1。
  因为n-1的最后一位是1,则n的最后一位是0,所以n&m != m,与假设矛盾。
  所以得  n&m != m。
  2)假设C(n-1,m)和C(n-1,m-1)为偶数:
  则有:(n-1)&m != m;
             (n-1)&(m-1) != m-1;
  现假设n&m == m.
  则对于m最后一位为1的情况:
  此时n最后一位也为1,所以有(n-1)&(m-1) == m-1,与假设矛盾。
  而对于m最后一位为0的情况:
  则m的末尾必有一部分形如:10; 代表任意个0。
  相应的,n对应的部分为: 1{*}*; *代表0或1。
  而若n对应的{*}*中只要有一个为1,则(n-1)&m == m成立,所以n对应部分也应该是10。
  则相应的,m-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(m-1) == m-1 成立,与假设矛盾。
  所以得 n&m != m。
  由1)和2)得出当C(n,m)是偶数时,n&m != m。
  3)假设C(n-1,m)为奇数而C(n-1,m-1)为偶数:
  则有:(n-1)&m == m;
             (n-1)&(m-1) != m-1;
  显然,m的最后一位只能是0,否则由(n-1)&m == m即可推出(n-1)&(m-1) == m-1。
  所以m的末尾必有一部分形如:10;
  相应的,n-1的对应部分为: 1{*}*;
  相应的,m-1的对应部分为: 01;
  则若要使得(n-1)&(m-1) != m-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
  所以n的对应部分也就为 : 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
  所以 n&m = m。
  4).假设C(n-1,m)为偶数而C(n-1,m-1)为奇数:
  则有:(n-1)&m != m;
             (n-1)&(m-1) == m-1;
  分两种情况:
  当m-1的最后一位为0时:
  则m-1的末尾必有一部分形如: 10;
  相应的,m的对应部分为 : 11;
  相应的,n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&m == m)
  相应的,n的对应部分为 : 1{*}1;
  所以n&m = m。
  当m-1的最后一位为1时:
  则m-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)
  相应的,m的对应部分为 : 10;
  相应的,n-1的对应部分为 : 01; (若为11,则(n-1)&m == m)
  相应的,n的对应部分为 : 10;
  所以n&m = m。
  由3),4)得出当C(n,m)为奇数时,n&m = m。
  综上,结论得证!

     (4)源程序2。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,k;
      while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF)
      {
            if ((n&k)==k)
                 printf("1\n");
           else
                 printf("0\n");
      }
      return 0;
}

       根据组合数的奇偶性判定方法:  对于C(n,m),若n&m == m  则C(n,m)为奇数,否则为偶数。

       可以写出如下一个程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,i,j;
      while (scanf("%d",&n) && n!=0)
      {
            for (i=0;i<(2<<(n-1));i++)
            {
                 for (j=0;j<=i;j++)
                      if ((i&j)==j) printf("* ");
                      else printf(" ");
                 printf("\n");
           }
      }
      return 0;
}

      运行这个程序,输入4,可以得到前面所示的星号图形。有一次,我在网上随意浏览时,发现上面这个程序,当时觉得有些奇妙,有些小神奇。因为,要输出一个递归形式的星号图形,我习惯性地采取递归的方法。例如,为达到上面程序的功能,根据输入的n,输出相应的递归图形,我会编写如下的程序:

#include <stdio.h>
#define N 64
void draw(char a[][N], int n, int row, int col)
{
      if(n==1)
      {
           a[row][col] = '*';
           return;
      }
      int w = 1;
      int i;
      for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2;
      draw(a, n-1, row, col);
      draw(a, n-1, row+w, col+w);
      draw(a, n-1, row+w,col);
}
int main()
{
     char a[N][N];
     int n,w,i,j;
     while (scanf("%d",&n) && n!=0)
     {
            for(i=0;i<N;i++)
                for(j=0;j<N;j++)
                     a[i][j] = ' ';
            w=1;
            for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;
            draw(a,n,0,0);
            for(i=0; i<w; i++)
            {
                  for(j=0; j<w; j++)
                      printf("%c ",a[i][j]);
                  printf("\n");
            }
      }
      return 0;
}

      一个简单的二重循环即可完成递归图形的描绘,我当时还琢磨半天,怎么会这样?怎么想出来的?怎么会这样,我现在明白了,组合数的奇偶性判断规则。怎么想出来的,也只能归结于小神奇了,毕竟组合数的奇偶性恰好和一个递归图形完美结合起来,单靠想是难想出来的。当然,对大牛们可能也简单,我就呵呵了!

      关于递归图形的构造输出,有兴趣可看看我的另一篇随笔:递归(五):递归图形。下面采用二重循环的方法实现该随笔中例2的递归图形的输出。

【例3】一个递归图形。

       小明在X星球的城堡中发现了如下图形:

            

        编写一个程序,实现该图形的打印。

        (1)编程思路。

       设row代表行号,col代表列号。用组合数的奇偶性判断规则,如果是奇数(row & col ==col),输出”*“;如果是偶数,就输出空格。

       输入n(代表度,即递归深度,题干中给出的两个图形的都分别为4和6),输出的行数row=2n-1。由于最后一行抵左端,从下往上每行向后缩进一个位置(通过输出空格实现)。因此,第row行应先输出的空格数为 2n-1-row-1。

      (2)源程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,i,w,row,col;
      while (scanf("%d",&n) && n!=0)
      {
            w=1;
            for (i=1; i<=n-1; i++) w *= 2;
            for (row=0; row<w; row++)
            {
                   for (col=1; col<w-row; col++)   // 完成缩进
                             printf(" ");
                   for (col=0;col<=row;col++)
                          if ((row & col)==col)
                                printf("* ");
                          else
                                printf(" ");
                   printf("\n");
           }
      }
      return 0;
}

      杨辉三角形作为二项式系数有着重要的应用价值。熟练地构造出杨辉三角形的各项(见例1的源程序),可以用来解决实际问题。

【例4】新生晚会 (HDU 2519)。

Problem Description
开学了,杭电又迎来了好多新生。ACMer想为新生准备一个节目。来报名要表演节目的人很多,多达N个,但是只需要从这N个人中选M个就够了,一共有多少种选择方法?
Input
数据的第一行包括一个正整数T,接下来有T组数据,每组数据占一行。
每组数据包含两个整数N(来报名的人数,1<=N<=30),M(节目需要的人数0<=M<=30)
Output
每组数据输出一个整数,每个输出占一行
Sample Input
5
3 2
5 3
4 4
3 6
8 0
Sample Output
3
10
1
0
1

      (1)编程思路。

      本题实质求组合数C(n,m)的值。构造一个杨辉三角形即可。

      (2)源程序。

#include <stdio.h>
int main()
{
      int n,m,i,j,t,y[31][31]={0};
      for (i=1;i<=30;i++)           // 赋行首与行尾元素值为1
               y[i][0]=y[i][i]=1;      // 注意列标从0开始
      for (i=2;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值
             for (j=1;j<i;j++)
                  y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
      scanf("%d",&t);
      while (t--)
      {
              scanf("%d%d",&n,&m);
              printf("%d\n",y[n][m]);
       }
       return 0;
}

【例5】Code (POJ 1850)。

Description

Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is that one where a number is associated to a character sequence. It is considered that the words are made only of small characters of the English alphabet a,b,c, ..., z (26 characters). From all these words we consider only those whose letters are in lexigraphical order (each character is smaller than the next character).

The coding system works like this:
• The words are arranged in the increasing order of their length.
• The words with the same length are arranged in lexicographical order (the order from the dictionary).
• We codify these words by their numbering, starting with a, as follows:
a - 1
b - 2
...
z - 26
ab - 27
...
az - 51
bc - 52
...
vwxyz - 83681
...

Specify for a given word if it can be codified according to this coding system. For the affirmative case specify its code.
Input

The only line contains a word. There are some constraints:
• The word is maximum 10 letters length
• The English alphabet has 26 characters.
Output

The output will contain the code of the given word, or 0 if the word can not be codified.
Sample Input

bf
Sample Output

55

      (1)编程思路。

      题目的意思是:已知26个英文字母的组合和数值的对应关系,如a~z表示第1~26列,ab~az表示第27~51,…。 输入字母组成的字符串str,问它对应的整数为多少。

       首先判断输入的str是否是升序序列,如果不是升序序列,则输入不合法,直接输出 0。

       如果是升序序列,则先计算比str长度少的所有字符串个数。

       假设str为 vwxyz ,其长度为5。则

      长度为1的字符串 有 a,b,c,…,y,z  共 C(26,1)=26 个。

      长度为2的字符串

              以a开头的 有 ab,ac,ad,…,ay,az  共 C(25,1)=25个;

              以b开头的 有 bc,bd,…,by,bz       共 C(24,1)=24个;

 

              以x开头的 有 xy,xz                       共 C(2,1)=2个;

              以y开头的 有 yz                           共 C(1,1)=1个。

       由数学公式:

            

      知,长度为2的字符串共有 C(1,1)+C(2,1)+…+C(24,1)+C(25,1)=C(26,2) 个。

      同理,长度为3的字符串共有 C(26,3) 个。

                长度为4的字符串共有 C(26,4) 个。

      因此,长度比5小的字符串的总数为: C(26,1)+C(26,2)+C(26,3)+C(26,4)=26+325+2600+14950=17901。

      然后,从高位到低位处理长度为5,但比str小的字符串的个数。

     首位为”v“,因此,首位为a,b,…,u的字符串均比str小。

            首位为 a 的字符串有 abcde,abcdf,  …,awxyz,共 C( 25,4)个,即后4个字母可以在b~z这25个字母中任取4个。

            首位为 b 的字符串有 bcdef,bcdeg,  …,bwxyz,共 C( 24,4)个,即后4个字母可以在c~z这24个字母中任取4个。

                ……

            首位为 u 的字符串有 uvwxy,uvwxz,uvwyz,uvxyz,uwxyz,共 C(5,4)个,即后4个字母可以在v~z这5个字母中任取4个。

      因此,考虑首位后,比str小的字符串个数有

        C(25,4)+C(24,4)+……+C(6,4)+C(5,4)=12650+10626+8855+7315+5985+4845+3876+3060+2380+1820+1365

                        +1001+ 715+ 495+ 330+ 210+ 126+ 70+ 35+ 15+ 5=65779

       次位为”w“,因为首位为v,次位为w,后3位的又都要比w大,否则不满足升序,因此只有xyz可选,考虑次位后,比str小的字符串个数为0。

       同理,考虑第3位、第4位及最后1位,比str小的字符串个数均为0。

      故 vwxyz 对应的数字为: 17901+65779+1(代表自身)=83681。  与题干一致。

       (2)源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
      char s[15],ch,t;
      int c[27][27],len,ans=1,flag;
      int i,j;
      for (i=1;i<=26;++i)
      {
               c[i][0]=1; c[i][i]=1;
              for (j=1;j<i;++j)
                   c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
      }
      scanf("%s",s);
      len=strlen(s);
      flag=1;
      for (i=1;i<len;i++)        // 检查输入的字符串是否为升序,不是则输入不合法,输出0
              if (s[i]<=s[i-1])
              {
                    flag=0;
                    break;
              }
      if (flag==0)
            printf("0\n");
      else
      {
               for (i=1;i<len;++i)       // 长度比该串短的先加上
                    ans+=c[26][i];
               for(i=0;i<len;i++)       // 从高位进行处理对于每一位处理到该位的前一个,比如该位为‘d',就处理到c
               {
                       ch=(i==0? 'a':(s[i-1]+1));
                       for (t=ch;t<s[i];t++)
                             ans+=c['z'-t][len-1-i];
               }

                       printf("%d\n",ans);
               }
              return 0;
       }

      POJ  1496 ”Word Index“与本题类似,在理解了本题后,可以顺手通过POJ 1496。

 

posted on 2019-09-10 20:44 aTeacher 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏