数学杂谈 #7

置换

置换

首先说成大白话的形式：一个调换元素顺序的规则就叫置换。

现在用一个比较严谨的说法：

若 \(f:A\rightarrow A\) 是双射的，那么我们称 \(f\) 为 \(A\) 上的一个置换。一般而言，我们都是讨论 \(A\) 为有限集的情况。

一般而言，如果 \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，我们会用一个比较直观的方式表示一个置换：

\[f=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\b_1&b_2&b_3&\dots&b_n\end{matrix}\right) \]

这表示 \(f\) 的映射规则为 \(a_1\rightarrow b_1,a_2\rightarrow b_2,\dots,a_n\rightarrow b_n\)。

一些比较琐碎的内容：

• 如果 \(f\) 为 \(A\) 上的一个置换，则称 \(|A|=n\) 为 \(f\) 的大小 or 长度 or 阶数；

• 由于 \(f\) 的双射性质，故存在 \(p\) 为 \(\{1,2,3,\dots,n\}\) 的一个排列，使得对于任意的指标 \(k\)，\(a_{p_k}=b_k\)；

  于是不难得出长度为 \(n\) 的置换有 \(n!\) 个；

• 对于置换 \(f,g\)，称它们两个不相交，当且仅当若 \(f:A_1\rightarrow A_1,g:A_2\rightarrow A_2\)，则 \(A_1\cup A_2=\varnothing\)；

置换复合/乘法

我们自然很好奇，对于一个 \(A\)，连续施加置换会发生肾摸事。

考虑现在有 \(A\) 上的两个置换 \(f,g\)，如果我们先对于 \(A\) 施加 \(f\)，再施加 \(g\)，会变成什么样？

显然可以对于每个元素单独考虑：对于元素 \(a_k\in A\)，原先为 \(a_k\)，现在 \(g(f(a_k))\)。

不难注意到，最终 \(A\) 的变化仍然可以使用一个置换来表示。这意味着我们可以找出一个新的置换 \(h\) 表示这种变化规则：

\[\forall a_k\in A,h(a_k)=g(f(a_k)) \]

这自然而然地引申出了置换的复合运算：

\[h=f\circ g\Leftrightarrow \forall a_k\in A,h(a_k)=(f\circ g)(a_k)=g(f(a_k)) \]

当然，需要注意运算顺序。在下文中，如果不会导致歧义，我们也会勇敢地使用 \(fg\) 来直接表示 \(f\circ g\)。

轮换

我们来看一下一类特殊的置换：

\[\sigma=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\a_2&a_3&a_4&\dots &a_1\end{matrix}\right) \]

也就是每个元素都向前挪一下。

这就好比将所有元素从 1 到 \(n\) 顺时针排布在一个环上，再将环逆时针旋转一下，得到的就是施加轮换的结果。

所以它的名字就叫 cycle。

另一种表示法，用上了轮换的特殊性：

\[\sigma=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\a_2&a_3&a_4&\dots &a_1\end{matrix}\right)=(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n) \]

轮换分解

这个轮换有什么作用？比如说，轮换的结构较置换而言简单得多。

而更重要的是，任意一个置换都可以分解成若干个不相交轮换的组合。

也即，对于长度为 \(n\) 的置换 \(f\)，有：

\[f=\sigma_1\sigma_2\dots\sigma_m\\ \sigma_k=(a_{k1},a_{k2},\dots,a_{k,l_k})\\ \]

且对于 \(i\not=j\)，都有 \(\sigma_i,\sigma_j\) 不相交。

这里轮换的组合意味着若 \(\pi=\sigma\rho,\sigma:A_1\rightarrow A_1,\rho:A_2\rightarrow A_2\)，则 \(\pi(k)=\begin{cases}\sigma(k)&k\in A_1\\\rho(k)&k\in A_2\end{cases}\)。

这个重要性质的证明可以对长度使用归纳法，在此不赘述；

此外，也可以说明在忽略轮换之间的顺序的情况下，这种分解是唯一的；比较显然也不赘述；

一般情况下，我们用 \(c(f)\) 表示置换 \(f\) 分解后的轮换数量。

需要注意的是，由于我们常常会在轮换分解中略去一阶轮换的书写，所以使用轮换表示置换的时候，指出阶数是很有必要的。

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轮换分解的好处都有啥？谁说对了就给他

可以发现，轮换分解有两个优点：

• 结构清晰，可以让人容易看出置换的具体作用；
• 独立，轮换之间互不干扰，又有相似结构，方便研究；

轮换指标

有时候我们可以忽略置换的具体结构，只关心置换的轮换的组成结构，那么一个置换可以导出它的轮换指标。

为此，我们需要用 \(c_j(f)\) 表示置换 \(f\) 拆分后，具有的长度为 \(f\) 的轮换数量，那么 \(f\) 可以被表示为：

\[t_1^{c_1(f)}t_2^{c_2(f)}t_3^{c_3(f)}\dots t_n^{c_n(f)} \]

具体的我们会放到后面来说。

群与置换群

群

对于一个集合 \(G\) 和一个在 \(G\) 上的二元运算 \(\circ\)，如果 \(G\) 和 \(\circ\) 满足如下四条性质：

• 封闭性：\(\forall a,b\in G,a\circ b\in G\)；
• 结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\)；
• 幺元存在：\(\exists e\in G,\forall a\in G,a\circ e=e\circ a=a\)，此时这个 \(e\) 被称为幺元。一般而言，也用 \(e\) 来表示一个群里的幺元；
• 逆元存在：\(\forall a\in G,\exists b\in G,a\circ b=b\circ a=e\)，此时 \(b\) 被称为 \(a\) 的逆元，记作 \(a^{-1}=b\)；

那么，二元组 \((G,\circ)\) 构成一个群。一定要注意的是，一个群的集合和它的运算是有机结合的，群论研究它们两个而非其中任何单独的一个。

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为什么我们需要研究群呢？

因为实际问题中，许多系统的性质和系统里具体装的什么、甚至具体是什么并不相干，它们是独立于系统之外的。

如果我们发现一个群可以被应用到一个实际的系统上，那么许多系统的性质便以不证自明了。

举个例子，有一个群，是这样的：

对于 \(n\in \mathbb{N_+},G_n=\{x\in \mathbb{N}|x<n\}\)，可以验证 \((G_n,+)\) 构成一个群。

那么在实际生活中，我们假装你在原地转圈圈，转一次只会恰好转 \(\frac{2\pi}{n}\)。

不错，这个转圈圈的问题就可以直接用 \((G_n,\circ)\) 来描述，自然也就可以迅速地推导出如下结论：

1. 封闭性：你不会转着转着转出了 \(2\pi(\phi-1)\) 这样奇奇怪怪的朝向，事实上我们已经掌握了你所可能的全部朝向；
2. 结合律：先转 \(a+b\) 下，最后转 \(c\) 下，和先转 \(a\) 下，再转 \(b+c\) 下效果相同；
3. 幺元存在：如果你转了 0 下，那么你的朝向不发生改变；
4. 逆元存在：如果你转了 \(a\) 下（\(0\le a<n,a\in \N\)），那么你再转 \(n-a\) 下一定会回到你原来的朝向；

是吧，依靠一个已经研究透彻的群，我们已经得到了如此强的结论，近乎可以预测你的任意旋转的结果

虽然这个例子看起来非常嗯哼，但是也一定程度上反映了群论的强大，更何况我们现在仅仅是使用了群的最基本的性质。

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小心一点，以下笔者似乎会使用 \(G\) 来同时表示一个群和一个群中元素的集合

以下是一些重要但琐碎的概念：

• 子群：对于群 \((G,\circ)\)，和 \(H\subseteq G，H\not=\varnothing\)，若 \((H,\circ)\) 也构成一个群，那么称 \((H,\circ)\) 为 \((G,\circ)\) 的一个子群，记作 \(H\le G\)；
• 无限、有限与阶：如果群 \((G,\circ)\) 中，\(G\) 为无限集，此时称 \((G,\circ)\) 为无限群；反之称之为有限群，且称 \(|G|\) 为群的阶数；

置换群

根据上面对于置换的认识，我们可以发现，长度相同的置换也构成一个群。

考虑所有定义在集合 \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 上的置换，设 \(P_n\) 为长度为 \(n\) 的置换构成的集合，设 \(\circ\) 为置换的复合，不难验证：

• 封闭性：\(\forall f,g\in P_n,f\circ g\in P_n\)；

• 结合律：\(\forall f,g,h\in P_n,(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)\)；

  说明：\(\forall a_k\in A,(f\circ g)\circ h=h(g(f(a_k)))=f\circ(h\circ g)\)；

• 幺元存在：在 \(P_n\) 中，幺元为以下恒等置换：

  \[e_n=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\end{matrix}\right) \]

  说明：容易验证，\(\forall f\in P_n,f\circ e_n=e_n\circ f=f\)。

  \(n\) 确定的时候，我们也可以省略 \(e_n\) 而写作 \(e\)。

• 逆元存在：对于 \(f\in P_n\)，若有：

  \[f=\left(\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\b_1&b_2&b_3&\dots&b_n\end{matrix}\right) \]

  那么可以得到：

  \[f^{-1}=\left(\begin{matrix}b_1&b_2&b_3&\dots&b_n\\a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\end{matrix}\right) \]

  容易验证 \(f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=e\)。

此时构成的群 \((P_n,\circ)\)，也称为 \(n\) 阶对称群，用 \(S_n\) 表示。

对称群可以说是相当“自然”的一类群，因为它们很容易就与现实问题挂钩。

例如，正 \(n\) 边形的旋转/对称操作构成的置换群就是 \(S_n\) 的一个子群。

对称群下的轮换指标

我们回头再看一下轮换指标这个东西。

首先需要注意的是，其中的 \(t\) 是形式变元，我们并不在乎它是什么，只是这个乘法的“形式”而已。

梦回生成函数

那么，考虑 \((G,\circ)\) 为 \(n\) 元集合 \(A\) 上的一个置换群，则可以定义该群的轮换指标：

\[P_G(t_1,t_2,\dots,t_n)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\prod_{k=1}^nt_k^{c_{k}(g)} \]

特别的，对于 \(n\) 阶对称群，我们可以计算其中任意一项 \(\prod_{k=1}^nt_k^{c_k}\) 的系数，其中满足 \(\sum_k c_k=n\)：

\[\left[\prod_{k=1}^nt_k^{c_k}\right]P_{S_n}(t_1,t_2,\dots,t_n)=n!\prod_{k=1}^n\frac{1}{c_k!}\prod_{j=1}^{c_k}\frac{(k-1)!}{k!}=\frac{n!}{\prod_{k=1}^nc_k!\cdot k^{c_k}} \]

理解：先选出每个轮换的元素，再考虑轮换内部的环排列方案数，最后还要去除轮换之间的顺序。