[luogu p1118] [USACO06FEB]数字三角形
题面
题目描述
FJ and his cows enjoy playing a mental game. They write down the numbers from \(1\) to$ N(1 \le N \le 10)$ in a certain order and then sum adjacent numbers to produce a new list with one fewer number. They repeat this until only a single number is left. For example, one instance of the game (when \(N=4\)) might go like this:
3 1 2 4
4 3 6
7 9
16
Behind FJ's back, the cows have started playing a more difficult game, in which they try to determine the starting sequence from only the final total and the number \(N\). Unfortunately, the game is a bit above FJ's mental arithmetic capabilities.
Write a program to help FJ play the game and keep up with the cows.
有这么一个游戏： 写出一个\(1\)至\(N\)的排列\(a_i\)，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少\(1\)，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：
\(3,1,2,4\)
\(4,3,6\)
\(7,9\)
\(16\) 最后得到\(16\)这样一个数字。 现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道\(N\)，知道最后得到的数字的大小\(sum\)，请你求出最初序列\(a_i\)，为\(1\)至\(N\)的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。
管理员注：本题描述有误，这里字典序指的是\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\) 而不是\(1,10,11,12,2,3,4,5,6,7,8,9\)
输入输出格式
输入格式
两个正整数\(n,sum\)。
输出格式
输出包括\(1\)行，为字典序最小的那个答案。 当无解的时候，请什么也不输出。（好奇葩啊）
输入输出样例
输入样例 #1
4 16
输出样例 #1
3 1 2 4
说明
对于\(40\%\)的数据，\(n≤7\)；
对于\(80\%\)的数据，\(n≤10\)；
对于\(100\%\)的数据，\(n≤12,sum≤12345\)。
分析
这道题明显是搜索，但无脑枚举next_permutation时间复杂度爆炸，所以我们不妨推推式子找规律。
如果三角形有\(n\)层，第一行的数分别为\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，我们能推出\(sum\)值吗？
如果\(n = 1\)，那么答案显然为\(a_1\)；
如果\(n = 2\)，答案就是上一层两者之和，自然为\(a_1+a_2\)；
如果\(n = 3\)，画出三角：
答案为\(a_1+2a_2+a_3\)。
如果\(n = 4\)：
答案为\(a_1+3a_2+3a_3+a_4\)。
如果\(n = 5\)：
答案为\(a_1+4a_2+6a_3+4a_4+a_5\)。
列个表：
| \(n\) | \(sum\) |
|---|---|
| \(1\) | \(a_1\) |
| \(2\) | \(a_1+a_2\) |
| \(3\) | \(a_1+2a_2+a_3\) |
| \(4\) | \(a_1+3a_2+3a_3+a_4\) |
| \(5\) | \(a_1+4a_2+6a_3+4a_4+a_5\) |
| \(6\) | \(a_1+5a_2+10a_3+10a_4+5a_5+a_6\) |
| \(\ldots\) | \(\dots\) |
如果我们抛掉字母不看，只剩下系数，会得到什么结果？
| \(n\) | \(\text{coefficient}\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1,1\) |
| \(3\) | \(1,2,1\) |
| \(4\) | \(1,3,3,1\) |
| \(5\) | \(1,4,6,4,1\) |
| \(6\) | \(1,5,10,10,5,1\) |
| \(\ldots\) | \(\dots\) |
聪明的你一定看出来了，这就是杨辉三角。
而题目呢恰好是已知\(sum\)，求原式子，而\(n\)、\(sum\)和原数组就被杨辉三角紧紧绑在一起。我们只需要通过搜索枚举出当前数字乘上杨辉三角的对应数字，然后相加看看是否等于\(sum\)，如果等于输出，结束。
杨辉三角这里我们可以用一个公式预处理：
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
const int maxn = 25;
int n,sum;
bool vis[maxn];
int ans[maxn];
int c[maxn];
bool dfs(int nownum, int nowsum, int step) {
if (nowsum > sum) return false;//可行性剪枝
if (step == n) {
if(nowsum == sum) {
ans[n] = nownum;
return true;
}
return false;//同样是可行性剪枝，但评测的时候我没写这句也AC了umm
}
vis[nownum] = true;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (vis[j]) continue;
if(dfs(j,nowsum+c[step]*j,step+1)) {
ans[step] = nownum;
return true;
}
}
vis[nownum] = false;//回溯
return false;
}
void pastri() {
c[0] = c[n-1] = 1;
if (n == 1) return ;
for (int i = 1; i * 2 < n; i++)
c[i] = c[n-i-1] = (n-i) * c[i-1] / i;
}//用组合数预处理杨辉三角。
int main() {
scanf("%d%d",&n,&sum);
pastri();
if (dfs(0,0,0))
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ",ans[i]);
puts("");
return 0;
}
评测记录
AC 100：R30917956
over.
