Gossip协议的一个概率问题

今日看到redis的集群用到了Gossip 协议，于是网上搜索，大致看了这篇文章

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41228196，其中关于概率这部分读起来总是不解，

如下所示

 

 

 

在文中的模型下，很显然最后都会被感染，因为只有两种类型，感染者和非感染者，而这里的被感染概率越来越小最后趋于0，似乎不符合结果，因为是百分之百会被感染，所以猜测这里描述的大概率是不被感染的概率。然后我们找来了原文验证，如下

 

 

 

 

文中所说为一个节点在Anti-Entropy模型中，使用pull方式保持易感染状态(即非感染状态)的概率。一个在第i轮中保持易感染状态(即非感染状态)节点在经过第i+1轮后保持易感染状态(即非感染状态)，且这个节点在第i+1轮接触了一个易感染状态(即非感染状态)的节点。得到的概率是 p(i+1)=p(i) * p(i); 因为这个节点本身的易感染状态(即非感染状态)是p(i),接触一个易感染状态(即非感染状态)的节点概率也是p(i),所以第i+1轮能保持易感染状态(即非感染状态)的概率就是p(i) * p(i).

 对于push这种方式，概率公式看起来明显复杂很多，我们也尝试来解释下，其中n(1-pi)表示的是感染者的个数，让每个感染者不接触目标节点的概率为(1-1/n)，所以有多少个感染者，就有多少次方，于是我们得到了目标公式p(i+1)=p(i) * ((1-1/n))^n(1-pi) ，

至于后面的简化情况p(i+1)=p(i) /e, 是基于p(i)很小，n很大的情况下，

我们通过limit(1+1/n)^n =e,

可以得到((1-1/n))^n(1-pi) = (1-1/n)^n=1/(1+1/(n-1))^n=1/(1+1/(n-1))^(n-1)=1/e,

所以得到近似值p(i+1)=p(i) /e。