【学习笔记】杜教筛

平均最小公倍数

$n\le 10^9$ 。
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i\frac{j}{(i,j)} \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\sum _{j=1}^i\frac{j}{d}[(i,j)=d] \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\sum _{j^{\prime }=1}^{\frac{i}{d}}{j}^{\prime }[(\frac{i}{d},j^{\prime })=1] \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\sum _{j^{\prime }=1}^d{j}^{\prime }[(d,j^{\prime })=1] \\ =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\frac{\varphi (d)\times d}{2} \\ =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(\varphi (i)\times i)\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \end{gathered}$$

整除分块，对于 ${\sum }_{i=l}^r(\varphi (i)\times i)$ ，因为 $l,r\le 10^9$ ，所以需要杜教筛。