【学习笔记】整除裴蜀扩欧 + 同余剩余系欧拉函数欧拉定理逆元

数论基本都忘完了慌得一批

似乎基本不用写代码 qwq

Fox And Jumping

• 裴蜀定理的推广($n\ge 3$)
• 把所有数的因数预处理出来，然后 dp 。

瓶子和燃料

• 给出一个结论，火星人给出的最小体积是所有选出瓶子的 $\gcd$
• 浅证一下（数论题还是想清楚比较重要吧 qwq
• 考虑 $n=2$ 的情况
• 假定 $a\ge b$ ，$ax-by=d(x,y\in N)$
• 我们让 $a$ 瓶子进， $b$ 瓶子出
• 推广到 $n>2$
• 如果系数为正，就从这个瓶子进，如果系数为负，就从这个瓶子出

小凯的疑惑

• 虽然这题很水但是还是要证一下
• 考虑构造 $x\in [0,b-1],y<0$ 使得 $ax+by$ 最大
• 不难想到 $(x,y)=(b-1,-1)$
• 答案是 $ab-a-b$ 。

Hankson 的趣味题

• 唯一质因数分解定理
• 分不同质因数考虑，然后分类讨论 。
• 利用乘法原理计数即可。

Aladdin and the Flying Carpet

• 数论都这么暴力嘛
• 线性筛都会吧
• 把 $10^6$ 以内的质数预处理出来
• 然后质因数分解
• 然后暴搜 qwq

Equal LCM Subsets

• $lcm$ 取决于指数最大的那一项
• 转换一下问题
• 假设我现在把 $a$,$b$ 集合的数都选上
• 把不可能在最终集合中的数删去
• 这就是正解了 这个 3200 就是逊啊
• 删除一个不合法的数时
• 可以用$\gcd$计算，复杂度 $O(n^3)$
• 可以用线段树维护，复杂度 $O(n^2\log n)$

沙拉公主的困惑

• 答案是 $n!{\prod }_{p\le m}(1-\frac{1}{p})$
• 因为鬼畜的细节被卡了半天qwq
• sb 出题人把模数出得很小
• 因此算答案的时候不要把模数的倍数算进去
• 不说了不说了。

Please, another Queries on Array?

• sb 数据结构题

Same GCDs

• 找循环节吧
• 答案是 $\varphi (m^{\prime })$

Paths

• 理一下思路
• 假设 $i$ 的最小质因子是 $p_i$
• 要求 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i+1}^{n}2[p_i{p}_j\le n,(i,j)=1]+1[(i,j)\ne 1]+3[2\max (p_i,p_j)\le n,(i,j)=1]$
• 咕掉了 。

Notepad

• 裸的欧拉定理

Visit of the Great

• 有必要做 口胡 一下
• 数论构造题
• 2600 的评分低了
• 如果两两互质的话，$lcm$ 的结果就是它们的乘积
• 设 $\gcd (k^{2^x}+1,k^{2^y}+1)=d(x>y)$
• 变形为 $k^{2^x}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$
• 显然它们之间有倍数关系
• $(k^{2^y}{)}^{2^{x-y}}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$
• 显然可以带入进去
• 得到 $(-1{)}^{2^{x-y}}\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d$
• 于是 $1\equiv -1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d$
• 哈哈，竟然是常量 ！d=1 或 2
• 这一串乘积很好算吧。
• sb 出题人还要限制模数
• 整理一下思路
• 假设 $p>2$
• 如果 $k$ 是 $p$ 的倍数，答案是 $\frac{1}{2^{r-l}}[k是奇数]$
• 否则，如果 $k^{2^l}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
• 答案是 $2^{r-l+1}\times \frac{1}{2^{r-l}}[k是奇数]$
• 否则，答案是 $\frac{k^{2^{r+1}}-1}{k^{2^l}}\times \frac{1}{2^{r-l}}[k是奇数]$
• 假设 $p=2$
• 若 $k$ 是偶数，输出 $1$
• 否则输出 $0$

Power Tower

• 唔。。。
• 扩展欧拉定理裸题 。
• 参见经典的 上帝与集合的正确用法