【学习笔记】整除分块、线性筛、莫比乌斯反演

显然我的数学没有lh好

Number Challenge

• 莫比乌斯反演好题 板题
• 标算复杂度 $O(n^2\log n)$
• 怎么暴力都行

Superhero’s Job

• 显然 $J(x)$ 是积性函数
• $J(p_i^k)=1+p_i^k$
• $J(x)=\prod (1+p_i^{k_i})$
• 假设$p_i\le \sqrt{A}$
• 可以记忆化搜索

于神之怒

Sum Over Subsets

• 设$f[i]$表示$A$的$\gcd$是$i$的倍数的贡献和
• 考虑贡献法
• 即每对元素对答案的贡献
• 很好推就不说了

Cowslip Collections

Polygons

• 巧妙的题目
• 首先把所有多边形转到同一顶点上
• 然后是比较高妙的trick
• 设$x$边形的第$y$个顶点是$\frac{y}{x}$
• 考虑对答案有贡献的顶点
• 一定满足$x$,$y$互质
• 否则不难构造出$\frac{y^{\prime }}{x^{\prime }}$，则$x^{\prime }$边形不在方案中，显然不优
• 因此$x$边形对答案的贡献为$\varphi (x)$
• 因此我们按$\varphi (x)$排序贪心
• 不难证明这是答案的下界
• 注意特判$k=1$,$k=2$
• 注意将$\frac{1}{1},\frac{1}{2}$算入答案