【学习笔记】[CTSC2018]暴力写挂 （边分树合并/边分治+虚树）

显然我们可以将问题转化为$\frac{1}{2}(\text{dep}(x)+\text{dep}(y)+\text{dist}(x,y)-2{\text{dep}}^{\prime }({\text{lca}}^{\prime }(x,y)))$ 。因为要分治所以这里写成两点距离比较方便。

如果边权非负的话直接套用 [WC2018]通道 的做法合并最远点对即可，然而这题边权有负。

考虑两种算法。

算法一
边分治+虚树。

对第一颗树进行边分治，设$x$到分治中心的距离是$D(x)$，显然答案可以写成$\text{dep}(x)+D(x)+\text{dep}(y)+D(y)-2{\text{dep}}^{\prime }({\text{lca}}^{\prime }(x,y))$，其中$x$,$y$属于分治中心的两侧。那么直接在第二颗树对应的虚树上统计即可。

如果加上归并排序和$RMQ$求$\text{lca}$的优化可以做到$O(n\log n$)。

算法二
类比点分树，我们可以构造出边分树，其中叶子节点都是原树上的点，非叶子节点是原树上的边。类比$\text{trie}$树，我们可以得到一个叶子节点在每次分治过程中被分到了哪一边。那么我们可以对边分树上的叶子节点到根的链进行合并，道理很简单，如果$x$,$y$到根节点的路径上有公共点$z$，那么可以在$z$处统计答案。那么我们只需在第二棵树上枚举${\text{lca}}^{\prime }(x,y)$，把儿子节点全部合并起来时统计答案即可。

复杂度$O(n\log n)$。

我信仰什么，我便实现哪种方法。

因为太懒了所以只写了虚树的做法。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define db double
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define int ll
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int n,n2,num,dfn[N];
int hd[N],to[N],st[N],nxt[N],vis[N],w[N],tot=1;
int f2[N][20],dep4[N];
ll dep[N],dep1[N],dep2[N],dep3[N];
vector<pair<int,int>>g[N],g3[N];
void add(int x,int y,int z){
	to[++tot]=y,st[tot]=x,w[tot]=z,nxt[tot]=hd[x],hd[x]=tot;
	to[++tot]=x,st[tot]=y,w[tot]=z,nxt[tot]=hd[y],hd[y]=tot;
}
int Lca2(int x,int y){
	if(dep4[x]<dep4[y])swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--)if(dep4[f2[x][i]]>=dep4[y])x=f2[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=19;i>=0;i--)if(f2[x][i]!=f2[y][i])x=f2[x][i],y=f2[y][i];
	return f2[x][0];	
}
void dfs(int u,int topf){
	f2[u][0]=topf,dep4[u]=dep4[topf]+1;
	for(int i=1;i<20;i++)f2[u][i]=f2[f2[u][i-1]][i-1];
	int lst=u;
	for(auto v:g[u]){
		if(v.fi!=topf){
			++n2,add(lst,n2,0),add(n2,v.fi,v.se),lst=n2,dep1[v.fi]=dep1[u]+v.se,dfs(v.fi,u);
		}
	}
}
int edge,D,siz[N],c[N],s[N],cnt,f[N][20];
ll res(-inf);
vector<int>vec;
void dfs2(int u,int topf,int sz){
	siz[u]=1;
	for(int k=hd[u];k;k=nxt[k]){
		int v=to[k];
		if(!vis[k]&&v!=topf){
			dfs2(v,u,sz),siz[u]+=siz[v];
			if(max(siz[v],sz-siz[v])<D)D=max(siz[v],sz-siz[v]),edge=k;
		}
	}
}
ll dp1[N],dp2[N];
int p[N],m;
vector<int>g2[N];
void dfs3(int u,int topf,int C){
	c[u]=C;if(u<=n)p[++m]=u;
	for(int k=hd[u];k;k=nxt[k]){
		int v=to[k];
		if(!vis[k]&&v!=topf)dep2[v]=dep2[u]+w[k],dfs3(v,u,C);
	}
}
void Add(int x,int y){
	if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
	g2[x].pb(y);
}
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void dfs5(int u,int topf){
	dfn[u]=++num,dep[u]=dep[topf]+1,f[u][0]=topf;
	for(int i=1;i<20;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(auto v:g3[u]){
		if(v.fi!=topf)dep3[v.fi]=dep3[u]+v.se,dfs5(v.fi,u);
	}
}
int Lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--)if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=19;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
void build(){
	for(int i=1;i<=m;i++)vec.pb(p[i]);
	sort(p+1,p+1+m,cmp);
	s[cnt=1]=1,vec.pb(1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(p[i]==1)continue;
		int u=p[i],v=Lca(u,s[cnt]);
		if(v==s[cnt])s[++cnt]=u;
		else {
			int l=0;
			while(dep[s[cnt]]>dep[v]){
				if(l)Add(l,s[cnt]);
				l=s[cnt--];
			}
			if(s[cnt]==v){
				Add(l,v),s[++cnt]=u;
			}
			else{
				Add(l,v),s[++cnt]=v,vec.pb(v),s[++cnt]=u;
			}
		}
	}for(int i=1;i<cnt;i++)Add(s[i],s[i+1]);
}
void dfs4(int u){
	dp1[u]=dp2[u]=-inf;
	if(c[u]==1)dp1[u]=dep1[u]+dep2[u];
	if(c[u]==2)dp2[u]=dep1[u]+dep2[u];
	for(auto v:g2[u]){
		dfs4(v),res=max(res,w[edge]+max(dp1[u]+dp2[v],dp2[u]+dp1[v])-2*dep3[u]);
		dp1[u]=max(dp1[u],dp1[v]),dp2[u]=max(dp2[u],dp2[v]);
	}
}
void solve(int u,int sz){
	if(sz==1)return;
	edge=-1,D=0x3f3f3f3f,dfs2(u,0,sz);
	vis[edge]=vis[edge^1]=1,m=0,dep2[st[edge]]=dep2[to[edge]]=0,dfs3(st[edge],0,1),dfs3(to[edge],0,2);
	build(),dfs4(1);
	for(int i=0;i<vec.size();i++)g2[vec[i]].clear(),c[vec[i]]=0;vec.clear();
	int tmp=edge;
	solve(st[tmp],sz-siz[to[tmp]]),solve(to[tmp],siz[to[tmp]]); 
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n,n2=n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
		g[x].pb({y,z}),g[y].pb({x,z});
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
		g3[x].pb({y,z}),g3[y].pb({x,z});
	}
	dfs(1,0),dfs5(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,2*(dep1[i]-dep3[i]));
	solve(1,n2);
	cout<<res/2;
}