【学习笔记】[AGC038E] Gachapon

学好数学

首先$\text{min-max}$容斥：$E(\max (S))={\sum }_{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(\min (T))$

考虑枚举集合$T$，假设每次得到的都是$T$里面的数，其期望可以转化为$K$轮后仍没有卡牌被抽到的概率之和。注意到每一轮后都会得到一张卡牌，因此是有限项求和。注意到$\sum A_i$比较小，可以考虑暴力枚举轮数来计算。

具体的，答案是$$\prod _{i\in T}(\frac{A_i}{\sum A_i}{)}^{c_i}\frac{K!}{c_1!c_2!...c_{|T|}!}$$

其中$\sum c_i=K,c_i<b_i$。

不难将式子写成$$K!(\frac{1}{\sum A_i}{)}^K\prod _{i\in T}\frac{A_i^{c_i}}{c_i!}$$

设$f_{j,k}$表示$\sum A_i=j$，$\sum c_i=k$时贡献之和。每次考虑新加入一个元素进去，这个元素的贡献是$\frac{A_i^{c_i}}{c_i!}$，写成卷积的形式$f_{j,k}=\sum f_{j-A_i,k-c_i}\frac{A_i^{c_i}}{c_i!}$，不难暴力卷积做到$O(\sum A_i(\sum B_i{)}^2)$。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,a[405],b[405];
ll f[405][405],fac[405],inv[405],res;
ll fpow(ll x,ll y=mod-2){
	ll z(1);
	for(;y;y>>=1){
		if(y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod;
	}return z;
}
void add(ll &x,ll y){
	x=(x+y)%mod;
}
void init(int n){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=fpow(fac[n]);for(int i=n;i>=1;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
signed main(){
	cin>>n,init(400);for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];
	f[0][0]=-1;int s1=0,s2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=s1;j>=0;j--){
			for(int k=0;k<=s2;k++){
				ll M=1;
				for(int l=0;l<b[i];l++){
					add(f[j+a[i]][k+l],-f[j][k]*M%mod*inv[l]%mod);
					M=M*a[i]%mod;
				}
			}
		}s1+=a[i],s2+=b[i];
	}
	for(int i=1;i<=s1;i++){
		ll M=fpow(i);
		for(int j=0;j<=s2;j++){
			res=(res+fac[j]*M%mod*s1%mod*f[i][j]%mod)%mod;
			M=M*fpow(i)%mod;
		}
	}cout<<(res+mod)%mod;
}