【学习笔记】CF1615G Maximum Adjacent Pairs

因为一个数$k$只会贡献一次，所以启发我们用网络流或者图匹配之类的算法。

但是很遗憾，这道题是一般图匹配。

贪心告诉我们，对于一段连续的$0$只有两端才会参与决策，更确切地说，设左右两端的数分别为$x$和$y$，分奇偶性讨论：

$1.1$ 如果段的长度为奇数，那么新建一个点$z$，将$z$分别向$x,y$连边。
$1.2$ 如果段的长度为偶数，那么新建两个点，这两个点之间连边，同时其中一个向$x$连边，另一个向$y$连边。

不难证明答案就是这张图的最大匹配的大小。

这个转化其实不难。但是之所以比较难想到可能是出于数据范围。因为这样建图的点数是$O(n)$的，无论怎么看都不是正解。

正解给我整无语了。考虑先不加两个点中间的那条边，然后跑二分图最大匹配，最后再加入这些边，跑带花树增广即可。

什么是带花树？对于一般图的增广算法，每次枚举一个未匹配点，设出发点为根，标记为黑点，接下来交错标记黑点和白点，不难发现白点到黑点这段边是匹配边。

假设当前点是$v$，相邻点为$u$，可以分为两种情况：

$1.1$ $u$未访问过，当$u$是未匹配点，则找到增广路径，否则从$u$的配偶找增广路。
$1.2$ $u$已经访问过，遇到标记黑点代表需要缩花（把奇环缩成一个黑点，同时将环上的白点加入队列），否则代表遇到偶环，跳过。

感觉图挺清楚的。整个过程都保证了交错树的结构，大体上和匈牙利算法类似。

但是问题来了，怎么找到具体的路径！经过大量手玩后，我直接绷不住了，唯一的感受是关键在于找到那条交错路径。换句话说一个奇环上有顺逆时针两种走法，但是我们要走交错路径对应的那个方向，这个简单嘛，建立一个后继链接$suf$就好。具体来说发现一定是先走一条非匹配边再走一条匹配边，这条非匹配边就是我们人为规定的后继链接$suf$。

复杂度据说是$O(n^3)$。

但是感觉不如随机化匈牙利，所以代码我先咕着。