二元有限域及其扩域上的计算

定义
    

Berlekamp分解算法
    

AES有限域
   

  不可约性证明
       

  非本原性验证
      

  找出本原元
      

  不可约多项式个数
       

线性移位寄存器m序列
     根据参考文献1知线生移位寄存器产生m序列的充要条件是特征多项式f(x)为本原多项式。而确立有限域上的本原多项式，主要有两种方法：
      一种方法是根据F_q上所有次数为n的本原多项式的乘积正好等于割圆多项式Q_e，其中e=qⁿ-1，从而所有次数为n的本原多项式可以通过分解Q_e得到。
      另一种方法是通过构造本原元再求本原元的极小多项式，先素因子分解qⁿ-1=p₁p₂...p_k，如果对每一p_i都有ord(α_i)=p_i，那么α=α₁α₂...α_k的阶就是qⁿ-1，
      因此是F_q上的本原元，则f(x)=(x-α)(x-α²)...(x-α^r)，r=qⁿ-1（因为α是本原元，所以n是使α^{q^n}=α成立的最小正整数）。
   
    求解本原多项式
       假设线性移位寄存器的级数为4，这里使用上述二种方法求F₁₆上的本原多项式，过程如下
       分解割圆多项式法
          

       构造极小多项式法
          

        
         
   
  本原多项式个数
        

   m序列示例
       

参考文献
    [1] 代数学基础与有限域    林东岱