CF1693D题解

很妙的dp题。
首先肯定要想判断一个序列是否合法。
第一篇题解的结论太强了，蒟蒻只能想到dp。
设 \(dp_{i,0}\) 表示 \(a_i\) 作为上升段末尾时，下降段末尾的最大值。
\(dp_{i,1}\) 表示 \(a_i\) 作为下降段末尾时，上升段末尾的最小值。

• 起点：\(dp_{i,0}=-inf,dp_{i,1}=inf(i>1),dp_{1,0}=inf,dp_{1,1}=-inf\)。
• 转移：
  若 \(a_{i-1}\) 能接到上升段（即 \(dp_{i-1,0}\neq -inf\)），则 \(dp_{i,0} \leftarrow dp_{i-1,0}(a_i>a_{i-1}),dp_{i,1}\leftarrow a_{i-1}(a_i<dp_{i-1,0})\)。
  若 \(a_{i-1}\) 能接到下降段（即 \(dp_{i-1,1}\neq inf\)），则 \(dp_{i,1} \leftarrow dp_{i-1,1}(a_i<a_{i-1}),dp_{i,0}\leftarrow a_{i-1}(a_i>dp_{i-1,1})\)。

那么暴力枚举子段，用上述 \(dp\) 即可做到 \(\mathcal{O}(n^3)\)。

考虑优化，假设固定左端点，那么合法的右端点只能是一个前缀，右端点右移的时候进行转移，优化为 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

观察上面的 \(dp\) 转移，发现 \(dp_i\) 只与 \(dp_{i-1}\) 有关，如果 \(dp_{i-1}\) 在上一个左端点和当前左端点的值相同，\(i\) 后面的值都不会变化，那么我们从后往前枚举左端点，记录右端点的最大值 \(mxr\)，如果发现某一处的 \(dp_i\) 未发生变化，直接继承上一次的 \(mxr\) 就行了，这样看似还是 \(\mathcal{O}(n^2)\)，但这个做法足以通过本题。

有一个很神奇的性质：
对于所有左端点，\(dp_{i,0}\) 和 \(dp_{i,1}\) 都只有 \(4\) 种取值。
证明：
对于 \(i\)，找到 \(i\) 之前最大的 \(j\) 满足 \(a_j>a_{j+1}\)，那么 \(a_j\) 和 \(a_{j+1}\) 中必有一个是下降段的末尾，也就是说 \(dp_{i,0}=a_j/a_{j+1}/-inf\)。
如果不存在 \(j\)，\(dp_{i,0}=inf\)。
对于 \(dp_{i,1}\) 同理。

于是每个点都最多被更新 \(7\) 次，之后就再也不会变化，复杂度降为 \(\mathcal{O}(n)\)。