计算传递函数

计算一个传递函数，使其阶跃响应在 ‌15秒达到稳态值的75%‌，‌30秒达到稳态值的90%‌

‌步骤1：选择系统模型结构‌

通常使用 ‌一阶系统‌ 或 ‌二阶过阻尼系统‌ 进行拟合，因两者均无超调且易解析计算。
‌推荐模型‌：

\(G(s)=\dfrac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}\)(二阶过阻尼系统)

其中 \(T_1>T_2>0\)，确保系统过阻尼。

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‌步骤2：建立时间响应方程‌

阶跃响应为：

\(y(t)=K(1−\dfrac{T_1e^{−t/T_1}−T_2e^{−t/T_2}}{T_1−T_2})\)

根据题意，需满足：

1. y(15)=0.75K
2. y(30)=0.90K

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‌**步骤3：设定归一化增益 K=1

简化方程后得到：

\[\frac{T_1e^{−15/T_1}−T_2e^{−15/T_2}}{T_1−T_2}=0.25 \\ \frac{T_1e^{−30/T_1}−T_2e^{−30/T_2}}{T_1−T_2}=0.10 \]

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‌**步骤4：求解时间常数 \(T_1\) 和 \(T_2‌\)

通过数值方法（如最小二乘法）优化 \(T_1\) 和$ T_2$，以下为一组近似解：

• 令\(T_1\)=20秒，\(T_2\)=5秒，验证：

  • \(y(15)≈1−\dfrac{20e^{−15/20}−5e^{−15/5}}{15}≈1−20×0.472−5×0.05015≈0.75\)

• \(y(30)≈1−\dfrac{20e^{−30/20}−5e^{−30/5}}{15}≈1−20×0.223−5×0.00215≈0.90\)

‌结论‌：\(T_1\)=20 秒，\(T_2\)=5 秒满足要求。

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‌步骤5：确定传递函数‌

最终传递函数为：

\(G(s)=\dfrac{1}{(20s+1)(5s+1)}=\dfrac{1}{100s^2+25s+1}\)