《应用泛函分析》习题解答

以下所有题目来自科学出版社 许天周的《应用泛函分析》。

 

1. 设$1 \le p \le q \le +\infty$，证明$l^p \subset l^q$。

证明：$\forall x=(x_1,x_2,\ldots) \in l^p$，$\forall \varepsilon >0$，恒存在自然数N，使得$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p<\varepsilon^p$，

那么可得

${||x_k||}^p<\varepsilon^p \Rightarrow  {||x_k||}<\varepsilon，p \ge 1$，

进而

$\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^q \le \varepsilon^{q-p}\sum_{k=N}^{+\infty}{||x_k||}^p< + \infty$

所以$x \in l^q$

 

2. 设[a,b]是有界闭区间，证明$L^2([a,b]) \subset L^1([a,b])$。

证明：$\forall x \in L^2([a,b]) $，有$[\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}<+\infty$，那么

$\int_a^b|f|dt \le [\int_a^b|f(t)|^2dt]^{\frac{1}{2}}[\int_a^b 1 dt]^{\frac{1}{2}} < +\infty$

因此，$ x \in L^1([a,b]) $

 

3. 设$(X,d)$是一个距离空间，中心在$x_0$，半径为r的开球定义为

$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$

集合$A \subset X$是开集是指对于任意的$x_0 \in A$，恒存在以$x_0$为中心的开球包含在A中。

（1）证明开球是开集；

（2）开集全体构成的集合是X上的一个拓扑。

证明：

（1）对于任意开球$B(x_0,r)=\{ x \in X: d(x,x_0) < r \}$，存在$B(x_0,r/2) \subset B(x_0,r)$，所以开球是开集。

（2）显然，开集全体构成的集合满足拓扑的定义。

 

4. 证明$d(x,y)=|arctanx-arctany|$是R上的距离。

证明：(1)非负性：$d(x,y)=|arctanx-arctany| \ge 0$，$d(x,y)=|arctanx-arctany|=0 \Leftrightarrow x=y $ 因为$arctanx$是一个单调函数；

(2)交换性：显然$d(x,y)=d(y,x)$；

(3)三角不等式：$\forall x,y,z \in R$,

$d(x,y)=|arctanx-arctany|=|arctanx-arctanz+arctanz-arctany| \le |arctanx-arctanz|+|arctanz-arctany|=d(x,z)+d(y,z)$

 

5. 设$(X,d)$是距离空间，对于任意的$x \in X$，定义$f(x)=inf_{y \in A}d(x,y)$，证明$f(x)$是连续函数。

证明：欲证$f(x)$是连续函数，只需证明$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。

对于任意的$x,x_0,y \in X$，由三角不等式，有$d(x,y)<d(x,x_0)+d(x_0,y)$，进一步有

$inf_{y \in A}d(x,y)<d(x,x_0)+inf_{y \in A}d(x_0,y)$

同理有，

$inf_{y \in A}d(x_0,y)<d(x,x_0)+inf_{y \in A}d(x,y)$，

那么

$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。

 

6. 设$A,B$为距离空间$(X,d)$中的两个不相交的闭集。试证明存在X上的连续函数$f(x)$是的当$x \in A$时，$f(x)=0$;当$x \in B$时，$f(x)=1$。

解： $f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$

 

7. 设$X,Y$都是距离空间，A在X中稠密，$f:X \to Y$是连续映射，证明$f(A)$在$f(X)$中稠密。

证明：$\forall y \in Y$，存在$x \in X$，是的$f(x)=y$。A在X中稠密，所以存在点列$\{x_n \} \in A$，使得$x_n \to x$，由于$f$是连续映射，所以$f(x_n) \to f(x),n \to \infty$

所以$f(A)$在$f(X)$中稠密

 

8. 设$c:=\{ x= (x_1,x_2,\ldots): x_i \in F, \lim_{k \to + \infty}x_k存在\}$，在c上定义如下距离

$d_{\infty}(x,y)=sup_k|x_k-y_k|$

证明：c是完备的距离空间。

证明： 设$lim_{k \to + \infty}x_k=x$，基本点列${x_n}$，那么

$d_{\infty}(x_m,x)<\varepsilon/2,\exists n>N$

由距离空间的三角不等式，有

$d_{\infty}(x_m,y_n) \le d_{\infty}(x_m,x)+d_{\infty}(x_n,x)<\varepsilon$

证毕。

 

9. 设$X$是一个全有界的距离空间，试证明对于每一个无限子集$Y \subset X$都有一个直径小于给定的$\varepsilon >0$的无线子集$Y_0$。

证明：因为$X$是一个全有界的距离空间，那么$X$必存在$\varepsilon/2$网$M={x_1x,x_2,\ldots,x_n}$，所以$Y$在这n个球中。

由于$Y$是无限集，那么n个开球中一定有一个球包含$Y$的无限子集。(抽屉定理)

 

10. 如果距离空间$X$是紧的，证明$X$是完备的，试说明完备的空间不一定紧。

证明：设$\{x_n \}$是$X$中的一个柯西列。因为距离空间$X$是紧的，所以存在子列$\{x_{n_k} \}$收敛，即$k \to +\infty,x_{n_k} \to x,x \in X$。

假设$\varepsilon >0$，根据柯西列和紧性，有

$d(x_n,x_{n_k})<\varepsilon/2,d(x,x_{n_k})<\varepsilon/2$

那么，有

$d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_k})+d(x,x_{n_k})<\varepsilon$

又因为$x \in X$，所以$X$是完备的。

完备的空间不一定紧，例如完备空间$R$，无穷序列${1,2,3,\ldots}$没有收敛子列。证毕。

 

11.  举例说明全有界集不一定是列紧集。

证明：先说明一下定义，全有界集是指存在有限子集构成的$\varepsilon$网。列紧集是指集合中的任何序列都有收敛子列，并且收敛点在集合内。

因为我们知道列紧=全有界+完备。所以我们可以找一个收敛点不在集合中例子。

例如，$A=(0,1) \subset X=(0,2)$，$d(x,y)=|x-y|$。$A$是全有界，因为$\forall \varepsilon>0$，都能找到有限长的单调递增的序列$\{x_n\}，\sup \limits_n{d(x_n,x_{n+1})}<\varepsilon$，使得A存在$\varepsilon$网。

但是，对于序列$\{\frac{1}{n}\}$，收敛到0，但0不在$A$内，所以$A$不是列紧集。

 

12. 在距离空间中举例说明，对于紧性而言全有界性是必要的，但不是充分的。

解： $(0,1)$

 

13. 如果距离空间是$(X,d)$紧的，证明对于任意的$\varepsilon>0$，空间$X$都有一个有限子集$M$，使得每一点$x \in X$到M的距离$d(x,M)=\inf \limits_{y \in M}d(x,y) < \varepsilon$。

证明：距离空间是$X$紧的，所以是全有界的。那么$X$存在有限子集$M$构成的$\varepsilon$网，使得每一点$x \in X$到M的距离$d(x,M)=< \varepsilon$。

 

14. 举例说明不动点定理的完备性条件是不可缺少的。

解：$(0,1]$，$Tx=\frac{x}{2}$，$T$是压缩映射，但是没有不动点。因为不动点在空间外~

 

15. 设$X$是一个距离空间，当$x \ne y$时，如果$T:X \to X$满足$d(Tx,Ty)<d(x,y)$，而且T有一个不动点，证明这个不动点是唯一的。

证明：假设存在两个不动点$x \ne x^* \in X$，那么

$d(x,x^*)=d(Tx,Tx^*) <d(x,x^*)$

欲使上式成立，只能是$d(x,x^*)=0$，则$x=x^*$，与假设矛盾。证毕。

 

16. 如果$T$是压缩的，证明$T^n$也是压缩的。如果$T^n$是压缩的，那么$T$不一定是压缩的。

证明：(1) $T$是压缩的，那么存在$0 \le \theta <1$，使得$d(Tx,Ty)<\theta d(x,y)$。那么

$$d(T^nx,T^ny)<\theta d(T^{n-1}x,T^{n-1}y)<\ldots<\theta^n d(x,y)$$

因为

$$0 \le \theta^n<1$$

所以$T^n$也是压缩的。

(2) $x=(x_1,x_2) \in R^2$，定义$Tx=(x_2,0)$，$d(x,y)=\sup \limits_k |x_k-y_k|$，那么$T$不是压缩的，$T^2$是压缩的。

 

17. 迭代序列$x_n=f(x_{n-1})$收敛的一个充分条件是，$f$是连续可微的，而且$|f'(x)| \le \alpha <1$，试用Banach不动点定理来验证它。

证明：$\forall x,y$，定义$d(x,y)=|x-y|$，由微分中值定理，存在$\beta \in [min(x,y),max(x,y)]$, 使得

$$|f(x)-f(y)|=|f'(\beta)||x-y| \le \alpha|x-y|$$

那么，$f$是压缩的，由Banach不动点定理，存在唯一的收敛点使得x_n=f(x_{n-1}收敛。

 

18. 设$X$是赋范线性空间，$K \subset X$是紧集，$T:K \to K$满足

$$||Tx-Ty||<||x-y||(x \ne y)$$

证明$T$有唯一的不动点。

证明：令$d(x,y)=||x-y||$，根据压缩映射原理，可知$T$有唯一的不动点。

 

19. 设$(X,d)$是距离空间，其中$X=[1,+\infty)$，$d$是通常的距离，定义映射$T$为$Tx=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$，证明$T$是一个压缩映射，对于$T$来说，请问最小的压缩系数和不动点是多少？

解： 定义

$$d(x,y)=|x-y|,|Tx-Ty|=|x-y||\frac{1}{2}-\frac{1}{xy}| \le \frac{1}{2} |x-y|$$

因为$x,y \in [1,+\infty]$。

所以$T$是一个压缩映射。压缩系数最小是$\frac{1}{2}$

令$Tx=x$，得不动点为$\sqrt{2}$。

 

20. 设$(X,d)$是一个距离空间，对于任意的$x,y \in X$，$x \ne y$，$T$满足

$d(Tx,Ty)<d(x,y)$

(1)证明$T$最多有一个不动点。

(2)说明$T$可能没有不动点。

解：(1)

假设存在互异的不动点$x,x'$，那么

$d(x,x')=d(Tx,Tx')<d(x,x')$

则$x=x'$。证毕。

 (2)定义映射$T$为$Tx=x+\frac{1}{x}$，不动点在无穷远处，所以没有。

 

21. 请说明用迭代公式$x_n=g(x_{n-1})=(1+x_{n-1}^2)^{-1}$，能够解方程$f(x)=x^3+x-1=0$，对于$x_0=1$，计算$x_1,x_2,x_3$，并且给出$d(x,x_n)$的估计。

解：$f(x)=x^3+x-1=0\Leftrightarrow x=(x^2+1)^{-1}$，所以求解方程$f(x)=x^3+x-1=0$等价于求解压缩映射$Tx=g(x)=(x^2+1)^{-1}$的不动点。

根据微分中值定理，$\forall x,y \in R$，$\exists \beta \in [min(x,y),max(x,y)]$，使得

$$d(Tx,Ty)=|g'(\beta)|d(x,y)$$

现讨论$g'(x),x<0$的大小。

$$g'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2},g''(x)=\frac{-2\cdot (1+x^2)^2+2x \cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2)^4}$$

设分子为$p(x)=-2\cdot (1+x^2)^2+2x \cdot 2(1+x^2)\cdot 2x=6x^4+4x^2-2$，利用求根公式，可得$p(x)=0$的解为$x=\pm {\sqrt{3} \over 3}$，舍去正值得到

$g'(x)$的最大值点。$g'(-{\sqrt{3} \over 3})={3\sqrt{3} \over 8}<1$

因此，$d(Tx,Ty) \le {3\sqrt{3} \over 8}d(x,y)$，所以存在不动点，使得方程$f(x)=x^3+x-1=0$有解。

对于$x_0=1$，

$$x_1=g(x_0)=\frac{1}{2},x_2=g(x_1)=\frac{4}{5},x-3=g(x_2)=\frac{25}{41}$$

$$d(x,x_n) \le {3\sqrt{3} \over 8}d(x,x_{n-1}) \le \ldots \le ({3\sqrt{3} \over 8})^{n-1} d(x,1)$$

 

22. 映射$T:[a,b] \to [a,b]$称为$[a,b]$上满足Lipschitz条件是指存在一个常数K使得对于任意的$x,y \in [a,b]$，满足

$$|T(x)-T(y)| \le K|x-y|$$

(1) T是否是一个压缩映射？

(2) 若T(x)有连续导数，试证明T满足Lipschitz条件。

解：(1)$K<1$时是一个压缩映射。(2)再次使用微分中值定理即可。

 

23. 设$(X,d)$是距离空间，$A$和$B$是$X$中的紧集，证明必存在$x_0 \in A,y_0 \in B$，使得$d(A,B)=d(x_0,y_0)$，其中$d(A,B)=\inf\{d(x,y):x \in A y \in B\}$.

证明：由下确界定义，一定存在序列$\{x_n\} \subset A,\{y_n\} \subset B$，使得$d(A,B)=\lim \limits_{n \to +\infty}d(x_n,y_n)$，因为$A$和$B$是$X$中的紧集，那么必存在子列$\{x_{n_k}\},\{y_{n_k}\}$使得$x_{n_k} \to x_0,y_{n_k} \to y_0$。由$d(x,y)$的连续性得，$d(A,B)=d(x_0,y_0)$。

 

24. 设$A$是$R^2$中的有界闭集，$T$是$A \to A$的算子。对于任意的$x,y \in A$，有$d(Tx,Ty)<d(x,y)$.试证明$T$在$A$中有唯一的不动点。

 证明：利用18题的方法即可。

 

25. 设$(X,d)$是完备的距离空间，$T$是$X \to X$的算子。如果

$$\alpha_n=\sup \limits_{x,y \in X}\frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)} \to 0$$

证明$T$在$X$中有唯一的不动点。

证明： 存在性：根据条件，存在$a_{n_0}\in [0,1)$，使得

$$\alpha_{n_0}=\sup \limits_{x,y \in X}\frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)}$$

上式满足压缩映射条件，故$T^{n_0}$在$X$上存在唯一的不动点$x^*$，即$T^{n_0}x^*=x^*$

又由于$T^{n_0}(Tx^*)=T(T^{n_0}x^*)=Tx^*$，所以$Tx^*=x^*$

唯一性：假设存在互异的不动点$x,x'$，那么

$$\alpha_n=\sup \limits_{x,x' \in X}\frac{d(T^nx,T^nx')}{d(x,x')} =\sup \limits_{x,x' \in X}\frac{d(x,x')}{d(x,y)} =1$$

与题设产生矛盾。

证毕。