欧拉法求解微分方程

by Conmajia
2014

原文是我在2014年写的,用C# 完成,这里改成JavaScript了,特基础。当然最方便的还是用数学库,或者Matlab、Mathematics这些数学软件(如果你只求值的话),或者可以换成C、Java、Go、Erlang任何其他的语言实现。欧拉(Euler)和中心差分逼近,是最朴素的想法,可惜代数精度太低了,而龙格库塔的稳定性又是个问题。总之只能用来计算普通的东西,高大上问题一般还是使用广义 $\alpha$,Wilson-$\Theta$ 之类的,利用系数调节人工阻尼,让低频的部分少受算法影响,高频阻尼增大,增加微分方程的稳定性,又不影响算法的精度。
Math.NET计划是用于.NET的数学运算库,包括了数值计算库Iridium.NET。这是非常古老的的库,最近一次更新已经是10年前了。但是,数学的东西永远不会过时,所以仔细研究一下,还是可以吃到很多干货的。

$ git clone git://github.com/mathnet/mathnet-iridium.git

工程中有时候需要解微分方程,比如这种:

\[ y'=y-\cfrac{2x}{y} \]

\(y(0)=1\). 两边积分,得到:

\[ \begin{align*} \int_{x_n}^{x_{n+1}}y'\mathrm{d} x&=\int_{x_n}^{x_{n+1}}\left(y-\cfrac{2x}{y}\right)\mathrm{d} x \\ y_{n+1}-y_n&=\int_{x_n}^{x_{n+1}}\left(y-\cfrac{2x}{y}\right)\mathrm{d}x \\ y&=\sqrt{1+2x} \end{align*} \]

工程上只想要数值解,一般采用差分近似代替微分. 最简单最朴素的办法是用欧拉公式

\[ \tag{1} y_{n+1}=y_n+\Delta x f(x_n,y_n)\quad n=0,1,2,\cdots \]

推导很简单,对\(x_n\),有:

\[ y'_n=f(x_n,y_n). \]

\(y'(x_n)\)有:

\[ \tag{2} y'_n\approx \cfrac{y_{n+1}-y_n}{\Delta x}. \]

式(2)左边叫微商(不是喜提迪丽热巴的那个微商),右侧叫差商(不是淘宝伪劣产品卖家),\(\Delta x=\left|x_{n+1}-x_n\right|\).

代回式(2),有:

\[ \begin{align*} y'_n=f(x_n,y_n) \Rightarrow\cfrac{y_{n+1}-y_n}{\Delta x} &\approx f(x_n,y_n) \\ y_{n+1}-y_n &\approx \Delta x f(x_n,y_n) \\ y_{n+1} &\approx y(x_n)+\Delta x f(x_n,y_n). \end{align*} \]

式(1)的欧拉公式成了:

\[ \tag{3} y_{n+1}=y_n+\Delta x\left(y_n-\cfrac{2x_n}{y_n}\right). \]

假设用myFn函数表示余项\(y_n-\dfrac{2x_n}{y_n}\)

function myFn(x, y) {
  return y - 2 * x / y;
}

Euler可以这样实现:

function calculate(x0, y0, delta, xn) {
  var yn;
  while(x0 < xn) {
    yn = y0 + delta * myFn(x0, y0);
    y0 = yn;
    x0 = x0 + delta;
  }
  return yn;
}

现在可以开始试验了。

理论上:

\[ y=\sqrt{1+2x}\Rightarrow y(1)=\sqrt{3}\approx 1.7321 \]

\(\sqrt{3}\)是方程的真值,程序的目标是通过计算,得到尽量接近真值的结果.

\(x_0=0\)\(y_0=1\)\(\Delta x=0.1\),程序计算结果为:

ans = 1.784771

误差3.04%. 减小\(\Delta x\),比如\(\Delta x=0.0001\),计算结果为:

ans = 1.732112

误差0.0007%十分接近真值了.

虽然这个方法可以求到比较精确的解,但是\(\Delta x\)太小的话,while会执行很多次,效率低下.

引入定积分的梯形公式:

\[ \int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y)\mathrm{d}x\approx\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})\right] \]

式(3)可以写成:

\[ \tag{4} y_{n+1}\approx y_n+\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})\right]. \]

式(3)和式(4)的特点是,前者速度快,精度低;后者速度慢,精度高. 所以对于粗算,可以使用:

\[ y'_{n+1}=y_n+\Delta x f(x_n,y_n) \]

精算,可以用:

\[ y_{n+1}=y_n+\cfrac{\Delta x}{2}\left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y'_{n+1})\right]. \]

结合起来,先通过粗算得到\(y'_{n+1}\)的近似值,再进行精算,得到高精度的最终解. 这样的话,既保证了计算结果的准确度,又没有消耗太多的计算资源,保证了计算效率. 下面是改进后的计算程序:

function calculate(x0, y0, delta, xn) {
  var yp, yc;
  while(x0 < xn) {
    yp = y0 + delta * myFn(x0, y0);
    yc = y0 + delta * myFn(x0 + delta, yp);
    y0 = 1 / 2 * (yp + yc);
    x0 = x0 + delta;
  }
  return y0;
}

\(x_0=0\)\(y_0=1\)\(\Delta x=0.1\),计算结果为:

ans = 1.737867

误差0.33%.

和最早版本(误差3.04%)相比,在 \(\Delta x\) 相同——意味着循环次数相近——的情况下,精度提高接近10倍.

具体问题具体分析,手工求微分方程基本是这么个思路. 当然,对于《数值分析》和《工程数学》这些课程来说,我上面写的东西不过是小儿科了. 更多的时候,做个伸手党其实很不错的,大把的现成玩意儿可以用,我干嘛还要费那劲呢?

The End. \(\Box\)

posted @ 2019-02-21 15:19  Conmajia  阅读(...)  评论(...编辑  收藏