鸢尾花书 - Book_3《数学要素》 - Chapter8 圆锥曲线

8.2 圆锥曲线：对顶圆锥和截面相交

1. 圆锥、对顶圆锥

2. 圆锥曲线

通过一个对顶圆锥和一个截面相交得到的一系列曲线。主要分为：正圆、椭圆、抛物线、双曲线。

3. 退化圆锥曲线

8.3 正圆：特殊的椭圆

圆心位于原点的正圆
解析式：\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = r^{2}\)，r 为半径。
正圆周长：\(2\pi r\)，
正圆面积：\(\pi r^{2}\)
矩阵乘法形式：\(x^{T}x = r^{2}\)，其中 \(x = \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix}\)
解析式对应的参数方程：\(\begin{cases} x_{1} = rcos(t) \\ x_{2} = rsin(t) \end{cases}\) 或 \(\begin{cases} x_{1} = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ x_{2} = \frac{2t}{1 + t^{2}}r \end{cases}\)

圆心位于 \((c_{1}, c_{2})\) 的正圆
解析式：\((x_{1} - c_{1})^{2} + (x_{2} - c_{2})^{2} = r^{2}\)
矩阵乘法形式：\((x - c)^{T}(x - c) = r^{2}\)，其中 \(x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}, c = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{bmatrix}\)
解析式对应的参数方程：\(\begin{cases} x_{1} = c_{1} + rcos(t) \\ x_{2} = c_{2} = rsin(t) \end{cases}\)

1. 上半圆、下半圆

图5（a）一个自变量对应两个因变量，不满足函数定义，用水平线把正圆一切为二，得到上下两个函数
上半圆函数：\(f(x_{1}) = \sqrt{r^{2} - x_{1}^{2}}\)
下半圆函数：\(f(x_{1}) = \sqrt{r^{2} - x_{1}^{2}}\)

8.4 椭圆：机器学习的多面手

长轴：连接椭圆上两点获得的最长线段，长轴的一半称为半长轴。
短轴：连接椭圆上两点获得的最短线段，短轴的一半成为半短轴。

中心位于原点的正椭圆的两种形式：
长轴位于横轴 \(x_{1}\) 上。图7（a）
解析式：\(\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1\)，其中 a > b > 0
矩阵乘法形式：\(x^{T} \begin{bmatrix} 1/a^{2} & 0 \\ 0 & 1/b^{2} \end{bmatrix}x = 1\)
解析式对应的参数方程：\(\begin{cases} x_{1} = acos(t) \\ x_{2} = bsin(t) \end{cases}\) 或 \(\begin{cases} x_{1} = a\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ x_{2} = b\frac{2t}{1 + t^{2}} \end{cases}\)

长轴位于横轴 \(x_{2}\) 上。图7（b）
解析式：\(\frac{x_{1}^{2}}{b^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} = 1\)，其中 a > b > 0

1. 焦点

位于椭圆长轴。
焦点：椭圆上任意一点 P 到两个焦点 F1 和 F2 的距离之和等于 2a，\(\vert PF_{1} \vert + \vert PF_{2} \vert = 2a\)
焦距：两个焦点 F1 和 F2 之间的距离，\(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\)

2. 中心移动

图10（a）所示椭圆的解析式：\(\frac{(x_{1} - c_{1})^{2}}{a^{2}} + \frac{(x_{2} - c_{2})^{2}}{b^{2}} = 1\)
图10（b）所示椭圆的解析式：\(\frac{(x_{1} - c_{1})^{2}}{b^{2}} + \frac{(x_{2} - c_{2})^{2}}{a^{2}} = 1\)

8.5 旋转椭圆：几何变换的结果

逆时针旋转和顺时针旋转
逆时针旋转 \(\theta\) 解析式：\(\frac{[x_{1}cos(\theta) + x_{2}sin(\theta)]^{2}}{a^{2}} + \frac{[x_{1}sin(\theta) - x_{2}cos(\theta)]^{2}}{b^{2}} = 1\)
顺时针旋转 \(\theta\) 解析式：\(\frac{[x_{1}cos(\theta) - x_{2}sin(\theta)]^{2}}{a^{2}} + \frac{[x_{1}sin(\theta) + x_{2}cos(\theta)]^{2}}{b^{2}} = 1\)

1. 举例

中心位于原点，长轴位于横轴的正椭圆在旋转之前解析式为：\(\frac{x_{1}^{2}}{4} + x_{2}^{2} = 1\)

图11（a）绕中心（原点）逆时针旋转 \(\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}\)
长轴位于第一和第三象限，解析式：\(\frac{[x_{1}cos(45^{\circ}) + x_{2}sin(45^{\circ})]^{2}}{4} + [x_{1}sin(45^{\circ}) - x_{2}cos(45^{\circ})]^{2} = 1\)
整理解析式得：\(\frac{5x_{1}^{2}}{8} + \frac{3x_{1}x_{2}}{4} \frac{5x_{2}^{2}}{8} = 1\)

图11（b）绕中心（原点）顺时针旋转 \(\theta = 135^{\circ} = \frac{3\pi}{4}\)
长轴位于第二和第四象限，解析式：\(\frac{[x_{1}cos(135^{\circ}) + x_{2}sin(135^{\circ})]^{2}}{4} + [x_{1}sin(135^{\circ}) - x_{2}cos(135^{\circ})]^{2} = 1\)
整理解析式得：\(\frac{5x_{1}^{2}}{8} - \frac{3x_{1}x_{2}}{4} \frac{5x_{2}^{2}}{8} = 1\)

对比上面两个整理解析式，发现仅仅差在 \(\frac{3x_{1}x_{2}}{4}\) 的正负号上

2. 单位圆到椭圆

8.6 抛物线：不止是函数

1. 图20（a）
   顶点：原点（0, 0）
   对称轴：\(x_{2}\) 纵轴
   开口：向上，当 \(p < 0\) 开口向下
   解析式：\(4px_{2} = x_{1}^{2}, p > 0\)
   

抛物线上每一点与焦点之间的距离等于该点与准线之间的距离。
举例：设抛物线任意一点为 \((x_{1}, x_{2})\)
\(\begin{align*} x_{2} - (-p) = \sqrt{(x_{1} - 0)^{2} + (x_{2} - p)^{2}}, p > 0 \\ \Rightarrow (x_{2} + p)^{2} = x_{1}^{2} + (x_{2} - p)^{2} \\ \Rightarrow 4px_{2} = x_{1}^{2} \end{align*}\)

2. 图20（b）
   顶点：原点（0, 0）
   对称轴：\(x_{1}\) 横轴
   开口：向右，当 \(p < 0\) 开口向左
   解析式：\(4px_{1} = x_{2}^{2}, p > 0\)
   

1. 平移

8.7 双曲线：引力弹弓的轨迹

图22（a）
解析式：\(\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} - \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1; a, b > 0\)
焦点：位于横轴
顶点：位于原点

双曲线顶点位于原点，焦点位于 \(F_{1}(-c, 0)\) 和 \(F_{2}(c, 0)\)，则\(c^{2} = a^{2} + b^{2}, c > 0\)
双曲线上任意一点 P 到两个焦点 F1 和 F2 距离差值为 2a：\(\vert PF_{1} \vert - \vert PF_{2} \vert = \pm2a\)

图22（b）
解析式：\(\frac{x_{1}^{2}}{b^{2}} - \frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} = 1; a, b > 0\)

1. 平移

将 \(\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} - \frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} = 1; a, b > 0\) 所示双曲线中心平移至 \((h, k)\)
得到双曲线解析式：\(\frac{(x_{1} - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x_{2} - k)^{2}}{b^{2}} = 1; a, b > 0\)，对应的渐近线解析式：\(x_{2} = k \pm \frac{b}{a}(x_{1} - h)\)

2. 常见的圆锥曲线参数方程

注：以上内容均摘自生姜博士的鸢尾花书系列-Book_3《数学要素》