胡不归问题
简介
胡不归出处: 先秦《国风·邶风·式微》 式微,式微,胡不归?微君之故,胡为乎中露!
胡不归问题,是一个非常古老的数学问题,曾经是历史上非常著名的“难题”。近年来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点,学生不易把握,今天给大家普及讲解一下。
有一个很美的故事,不知大家是否听说过。
话说,从前有一小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.小伙子略懂数学常识,考虑到“两点之间线段最短”的知识,就走布满沙石的路直线路径,而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”
这个问题引起了人们的思索,小伙子能否节省路上时间提前到家?如果可以,他应该选择一条怎样的路线呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.
讲解


上述数学解释用到了三角函数知识将两个线段的系数权重都化为1,从而降低了求最值难度。聪明的同学或许一下就发现转化成了我之前讲过的“将军饮马(小河取水)”模型,进而作对称求得最值。
例题
显然线段PA,PB的系数不同,先要将他们化为1.考虑到本题中有个∠A=30°,而30°所对的直角边是斜边的一半,所以可以将二分之一PA转化,如图
然后问题就明朗了,系数都是1了,得到新模型——“将军饮马(小河取水)”模型
剩下的问题就是作对称,求最值了。大家思考一下,该选取哪个点关于AC对称比较好?是D点呢,还是B点呢?
聪明的你肯定注意到了∠C=90°,所以我们选取B点关于AC对称比较好,方便计算。如下图:
结语
DB’和AB垂直时候,DB’就是本题的最短线段(所用知识:两点之间线段最短+垂线段最短)。容易知道B’也是30°,可知BD=BC=1,而DB’是DB的根号3倍,为根号3.
本题综合性强,是对动点最值问题的全面考察,鼓起勇气向难题亮剑!
话说,从前有一小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.小伙子略懂数学常识,考虑到“两点之间线段最短”的知识,就走布满沙石的路直线路径,而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”
by defender
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