积分图及其应用

　　Paul Viola提出一种利用积分图快速计算Haar特征的方法（《Rapid object detection using a boosted cascade of simple features》）。Haar特征是什么就不多做介绍，总之Haar特征的计算需要重复计算目标区域的像素值，使用积分图能大大减少计算量，达到实时计算Haar特征的目的。简单来说，就是先构造一张“积分图”（integral image），也叫Summed Area Table，之后任何一个Haar矩形特征都可以通过查表的方法（Look Up Table）和有限次简单运算得到，大大减少了运算次数。所以但凡需要重复计算目标区域内像素值和的场合，积分图都能派上用场。下面开始介绍积分图原理，并给出其的几个应用。

1、积分图原理

　　将矩形表示为：

　　其中，x,y表示坐标，w,h表示宽、高，a表示角度。

　　积分图像中，每个点存储的是其左上方所有像素之和：

　　         

 

其中I(x,y)表示图像(x,y)位置的像素值。积分图像可以采用增量的方式计算：

初始边界：SAT(-1,y)=SAT(x,-1)=SAT(-1,-1)=0

为了更好地说明这个等式的缘由，下面我用几幅图来说明：

     

          图1.坐标(x,y)处在原图像中示例                 图2.坐标(x,y-1)处的积分图像SAT(x,y-1)示例

   

 图3.坐标(x-1,y)处的积分图像SAT(x,y-1)示例     图4.坐标(x-1,y-1)处的积分图像SAT(x-1,y-1)示例  

 

 可以看到，SAT(x,y-1)+SAT(x,y-1)后，有一部分重合的区域，即SAT(x-1,y-1)，所以需减掉，最后还需要将当前坐标(x,y)的像素值I(x,y)包含进来。

定义了积分图的概念，就可以很方便的计算任意区域内的像素和，如下图所示：

所以，

点1的积分SAT₁=Sum(Ra)，

点2的积分SAT₂=Sum(Ra)+Sum(Rb)，

点3的积分SAT₃=Sum(Ra)+Sum(Rc)，

点4的积分SAT₄=Sum(Ra)+Sum(Rb)+Sum(Rc)+Sum(Rd)

那么，区域Rd内所有点的像素值之和（积分）可以表示为：

Sum(Rd)=SAT₁+SAT₄-SAT₂-SAT₃

所以无论矩形的尺寸大小，只需查找积分图像4次就可以求得任意矩形内像素值的和。

 

2、积分图应用

（1）Haar-like特征值计算

　　以如下一种Haar-like边缘特征为例

                       

　　假设需要计算的这种Haar-like特征在图中的位置如下所示：

       

　　那么，A，B区域所构成的Haar-like边缘特征是：

　　显然，对一个灰度图而言，事先将其积分图构建好，当需要计算灰度图某个区域内所有像素点的像素值之和的时候，利用积分图，通过查表运算，可以迅速得到结果。

 

（2）使用积分图像实现自适应阈值化

自适应阈值是一种局部方法。它的原理是根据每个像素的邻域（如5x5）计算阈值，如将每个像素的值与指定的邻域的平均值进行比较，如果某像素的值与它的局部平均值差别很大，就会被当作异常值在阈值化过程中被分离。

如若不采用积分图像，则每个像素比较时，都需要进行5x5次加法运算；而采用积分图像，运算复杂度不随邻域大小而改变，每次只需计算2次加法和2次减法。

（3）

我本人在做车牌字符分割时，设计了一个动态模板在车牌图像上滑动，并且每次滑动都计算一次模板内包含的非零像素点个数，没用积分图的时候，每次计算都要遍历，效率真的太低，滑动1000多次，计算耗时竟达到了几百ms，这在实时处理中是不能容忍的。而后去补了积分图的知识，使用积分图来计算每次滑动后区域内的非零像素点个数，效率不要太高，只耗费了几ms就完事了。深深感叹算法的博大精深！

以上。