差分&快速幂

差分&快速幂

$\texttt{SeekLuna}$ $2023.6.4$

差分

给定长度为 $n$ 的序列 $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$，它的差分序列定义为相邻两项之差，即 $a_{1},a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2}\dots a_{n}-a_{n-1}$

差分序列的第 $i$ 项为 $d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$，其中 $a_{0}=0$

可以发现，对差分序列做前缀和，可以还原出原数列。

一维差分 区间修改

如果对原序列区间 $[l,r]$ 的元素加上 $v$，实际上对应了差分序列两个元素的修改。

也就是说，区间内的每个元素的加法操作，可以直接变成差分序列上两个元素的修改

所有操作做完后，对差分序列做前缀和即可还原原序列。

例题：区间修改

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

int n,m,l,r,c,a[MAXN],d[MAXN];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        d[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    while (m--){
        cin >> l >> r >> c;
        d[l] += c;
        d[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        d[i] = d[i - 1] + d[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cout << d[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

先直接做差分，然后输入 $l,r,c$，修改之后，就直接做前缀和输出了。

二维差分 矩阵修改

暴力修改：$O(n_{} ^ {2})$

对列差分后的矩阵做修改：$O(n)$

逐维差分，对先列差分后行差分的矩阵做修改：$O(1)$

还原原数组

做二维前缀和即可，$O(n_{} ^ {2})$

示例二位数组

原图（表1）：

0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0

列差分后（表2）：

0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	-1	0
0	1	0	0	-1	0
0	1	0	0	-1	0
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0

做列前缀和还原

再行差分（表3）：

0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	-1	0
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	-1	0
0	0	0	0	0	0

做行前缀和，再做列前缀和还原

原数组直接做行差分（表4）：

0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0
0	-1	-1	-1	0	0
0	0	0	0	0	0

做行前缀和还原

上4个表的顺序：

表1 $\to$ 表2 $\to$ 表3

表1 $\to$ 表4

例题：矩阵修改

方法1：原图直接做列差分，还原做列差分

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

int n,d[1010][1010],cnt[MAXN];

int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        for (int j = y1; j <= y2; j++){ //列差分
            d[x1][j]++;
            d[x2 + 1][j]--;
        }
    }
    for (int i = 1; i < 1010; i++){ //列前缀和
        for (int j = 1; j < 1010; j++){
            d[i][j] = d[i][j] + d[i - 1][j];
            cnt[d[i][j]]++;//统计数
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cout << cnt[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

方法2：原图直接做行差分，还原做行差分和列差分，可以交换顺序

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

int n,d[1010][1010],cnt[MAXN];

int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1,x1,y1,x2,y2; i <= n; i++){
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        d[x1][y1]++,d[x2 + 1][y2 + 1]++;
        d[x2 + 1][y1]--,d[x1][y2 + 1]--;
        //行差分
    }
    for (int i = 1; i < 1010; i++){ //行前缀和
        for (int j = 1; j < 1010; j++){
            d[i][j] = d[i][j] + d[i - 1][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i < 1010; i++){ //列前缀和
        for (int j = 1; j < 1010; j++){
            d[i][j] = d[i][j] + d[i][j - 1];
            cnt[d[i][j]]++;//统计数
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cout << cnt[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

方法3，原图直接做行差分，做行前缀和还原

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;

int n,d[1010][1010],cnt[MAXN];

int main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        for (int j = y1; j <= y2; j++){
            d[x1][j]++;
            d[x2 + 1][j]--;
        }
    }
    for (int i = 1; i < 1010; i++){
        for (int j = 1; j < 1010; j++){
            d[i][j] = d[i][j] + d[i - 1][j];
            cnt[d[i][j]]++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        cout << cnt[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

快速幂

折半分解

令 $F(a,b)=a ^ {b},a \ne 0$

若 $b=0,F(a,b)=1$

若 $b$ 为偶数，$F(a,b)=(F(a,b / 2)) ^ {2}$

若 $b$ 为奇数，$F(a,b)=(F(a,\lfloor\frac {b}{2}\rfloor))^{2}$

例题：快速幂

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int Pow(int a, int b, int p){
    if (b == 0) return 1 % p;
    if (b % 2 == 0){
        int ret = Pow(a, b / 2, p);
        return 1ll * ret * ret % p;
    }
    else {
        int ret = Pow(a, b / 2, p);
        return 1ll * ret * ret % p * a % p;
    }
}

int main(){
    int a, b, p, t;
    cin >> t;
    while (t--){
        cin >> a >> b >> p;
        cout << Pow(a, b, p) << "\n";
    }
    return 0;
}

这题很简单，只要知道折半分解定理即可

费马小定理

给定质数 $p$ 和整数 $a$，且 $p\not \mid a$，则 $a ^ {p-1} \equiv 1 \pmod p$

乘法逆元

给定质数 $p$ 和整数 $a$，则 $a$ 在 $\bmod p$ 意义下的乘法逆元为 $a_{} ^ {p-2}$

$\frac{x}{a} \equiv \frac{x}{a}·1\equiv \frac{x}{a}·a_{} ^ {p-1}\equiv x·a_{} ^ {p-2} \pmod p$

例题：乘法逆元

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long Pow(int n,int p,int p2){
    if (p == 0) return 1;
    long long ret = Pow(n,p / 2,p2);
    ret = ret * ret % p2;
    if (p % 2 != 0) ret = ret * n % p2;
    return ret;
}

int main(){
    int n,p;
    cin >> n >> p;
    if (n % p == 0){
        cout << -1;
        return 0;
    }
    cout << Pow(n,p - 2,p);
    return 0;
}

这个就是结合了快速幂和费马小定理的玩意，也简单

完结撒花！