LGV引理小记

由于是看 oi-wiki 学的，内容基本是搬过来的。

小前提： LGV 引理仅适用于有向无环图。

定义

\(\omega(P)\) 表示 \(P\) 这条路径上所有边的边权之积。（路径计数时，可以将边权都设为 \(1\)）（事实上，边权可以为生成函数）

\(e(u,v)\) 表示从 \(u\) 到 \(v\) 的每一条路径 \(P\) 的 \(\omega(P)\) 之和，即 \(e(u,v)=\sum\limits_{P:u\rightarrow v}\omega(P)\)。

起点集合 \(A\)，是有向无环图点集的一个子集，大小为 \(n\)。

终点集合 \(B\)，也是有向无环图点集的一个子集，大小也为 \(n\)。

一组 \(A\rightarrow B\) 的不相交路径 \(S\)：\(S_i\) 是一条从 \(A_i\) 到 \(B_{\sigma(S)_i}\) 的路径（\(\sigma(S)\) 是一个排列），对于任何 \(i\ne j\)，\(S_i\) 和 \(S_j\) 没有公共顶点。

\(t(\sigma)\) 表示排列 \(\sigma\) 的逆序对个数。

引理

\[M= \begin{bmatrix} e(A_1,B_1) & e(A_1,B_2) & \cdots & e(A_1,B_n)\\ e(A_2,B_1) & e(A_2,B_2) & \cdots & e(A_2,B_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ e(A_n,B_1) & e(A_n,B_2) & \cdots & e(A_n,B_n) \end{bmatrix} \\ \text{det}(M)=\sum\limits_{S:A\rightarrow B}(-1)^{t(\sigma(S))}\prod\limits_{i=1}^n\omega(S_i) \]

其中 \(\sum\limits_{S:A\rightarrow B}\) 表示满足上文要求的 \(A\rightarrow B\) 的每一组不相交路径 \(S\)。

证明

由行列式定义可得

\[\begin{aligned} \det(M) &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})\\ &=\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P) \end{aligned} \]

观察到 \(\prod\limits_{i=1}^n \sum\limits_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)\)，实际上是所有从 \(A\) 到 \(B\) 排列为 \(\sigma\) 的路径组 \(P\) 的 \(\omega(P)\) 之和。

\[\begin{aligned} &\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \sum_{P:a_i\to b_{\sigma(i)}} \omega(P)\\ =&\sum_{\sigma}(-1)^{t(\sigma)}\sum_{P=\sigma}\omega(P)\\ =&\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i) \end{aligned} \]

此处 \(P\) 为任意路径组。

设 \(U\) 为不相交路径组，\(V\) 为相交路径组，

\[\begin{aligned} &\sum_{P:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod_{i=1}^n \omega(P_i)\\ =&\sum_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod_{i=1}^n \omega(U_i)+\sum_{V:A\to B}(-1)^{t(V)}\prod_{i=1}^n \omega(V_i) \end{aligned} \]

设 \(P\) 中存在一个相交路径组 \(P_i:a_1 \to u \to b_1\),\(P_j:a_2 \to u \to b_2\)，则必然存在和它相对的一个相交路径组 \(P_i'=a_1\to u\to b_2\),\(P_j'=a_2\to u\to b_1\)，\(P'\) 的其他路径与 \(P\) 相同。可得 \(\omega(P)=\omega(P'),t(P)=t(P')\pm 1\)。

因此我们有 \(\sum\limits_{V:A\to B}(-1)^{t(\sigma)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(V_i)=0\)。

则 \(\det(M)=\sum\limits_{U:A\to B}(-1)^{t(U)}\prod\limits_{i=1}^n \omega(U_i)=0\)。

证毕。

例题

CF348D Turtles

比较直接的 LGV 引理的应用。考虑所有合法路径，发现从 \((1,1)\) 出发一定要经过 \(A=\{(1,2), (2,1)\}\)，而到达终点一定要经过 \(B=\{(n-1, m), (n, m-1)\}\)，则 \(A, B\) 可立即选定。应用 LGV 引理可得答案为：

\[\begin{vmatrix} f(a_1, b_1) & f(a_1, b_2) \\ f(a_2, b_1) & f(a_2, b_2) \end{vmatrix} = f(a_1, b_1)\times f(a_2, b_2) - f(a_1, b_2)\times f(a_2, b_1) \]

其中 \(f(a, b)\) 为图上 \(a\rightarrow b\) 的路径数，带有障碍格点的路径计数问题可以直接做一个 \(\Theta(nm)\) 的 dp，则 \(f\) 易求。最终复杂度 \(\Theta(nm)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
const int MAXN=3e3+5;

int n,m;
int dp[MAXN][MAXN];
char ma[MAXN][MAXN];

inline int solve(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[x1][y1]=(ma[x1][y1]=='.');
    for(int i=1;i<=x2;i++)
        for(int j=1;j<=y2;j++)
        {
            if(ma[i][j]=='#') continue;
            dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j])%MOD;
            dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j-1])%MOD;
        }
    return dp[x2][y2]%MOD;
}

signed main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>ma[i][j];
    int res1=solve(1,2,n-1,m);
    int res2=solve(1,2,n,m-1);
    int res3=solve(2,1,n-1,m);
    int res4=solve(2,1,n,m-1);
    int ans=((res1*res4)%MOD-(res2*res3)%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}