Misc Records ep.1

Misc 丢一些神秘的杂题。

1.【数据删除】

将 \(n\) 个球放进 \(m\) 个盒子，求所有盒子的最大期望球数。
\(n\le 2000\)，\(m\le 10^9\)。

期望可以视为总和除上 \(m^n\)。
令 \(f_k\) 表示 \([\max=k]\) 的方案数，那么问题等价于 \(\sum kf_k\)。
试着容斥成 \([\max \ge k]\)，记这个方案数是 \(g_k\)，会发现对于一个 \([\max=k]\) 的方案，他刚好被 \(\sum g_k\) 算了 \(k\) 次。
\([\max\ge k]\) 仍然不好算，再换成 \([\max <k]\)，即为 \(h_k\)，那么答案就是 \(\sum m^n-h_k\)。
对此 DP，记 \(p_{i,j}\) 为 \(n=i\)，\(m=j\) 的方案数，枚举 \(k\) 做若干次 DP。
每次 DP 用总方案减掉不合法的方案，也就是：

\[p_{i,j}=jp_{i-1,j}-j\binom{i-1}{k}p_{i-k-1,j-1} \]

直接做是 \(O(n^3)\) 的，但是注意到转移式里面有 \(i-k-1,j-1\)，所以其实 \(j\) 每次减一都会使 \(i\) 减 \(k\)，于是合法的状态数锐减到 \(O(n\ln n)\)，直接 DP 即可做到 \(O(n^2 \ln n)\)。

2.【数据删除】

平面上有 \(m+t+q\) 个点，从中选出一个大小为 \(m+t\) 的子集，要求包括 \(t\) 个特定点，求他们两两之间曼哈顿距离的最大值。
\(m\le 4\)，\(1\le q\le 2\times 10^4\)，\(0\le t\le 20\)。

首先对于 \(t\) 个点内部可以暴力处理出答案。
接下来对于 \(m+q\) 个点，可以先给他们 set 出一个权值。
于是问题也就变成了每个待选点有一个权值，尝试维护他们内部的答案。
多个点曼哈顿距离的一种求法是，直接将坐标排序，然后就可以计算出所有点的贡献系数。
既然排序，其实不如考虑枚举坐标的排列，由排序不等式，很明显取所有排列的最大值即可解决问题。
于是直接 DP，令 \(f_{i,S_1,S_2}\) 表示已经考虑了前 \(i\) 个点，剩下的 \(S_1,S_2\)，分别是 \(m\) 个数占据的 \(x_i,y_i\) 坐标的相对位置，直接写就可以做到 \(O(qm^24^m)\)，实际上状态不会有那么多，因为 \(\text{ppc}(S_1)=\text{ppc}(S_2)\)。

3. 【USsR #1】彩色括号

尝试先做一些必要操作。
对于一个合法括号序列：

• ( ) 的个数相等。
• 前缀和非负。

那么对于第一个条件，我们可以转化为三种颜色的括号均满足个数相等。
对于第二个条件，我们可以转化为挖掉一种颜色的括号后，前缀和非负。
为了满足第一个条件，可以优先贪心，对于不满足的颜色，我们可以改最前面的 ) 或者最后面的 ( 来解决问题。
剩余的操作会形如：将某个颜色的第一个 ) 和最后一个 ( 交换。
假定每个颜色做了 \(x_i\) 次，则目标便是最小化 \(x_1+x_2+x_3\)，考虑他们对应的限制。
枚举两个存在的颜色记为 \(1,2\)，那么我们对于一个前缀 \(j\) 有：

\[s_j+2\min(x_1,a_{1,j},b_{1,j})+2\min(x_2,a_{2,j},b_{2,j})\ge 0 \]

其中 \(a_{1,j}\) 表示前缀 \(j\) 颜色为 \(1\) 的 ) 数量，\(b_{1,j}\) 表示前缀 \(j\) 颜色为 \(1\) 的 ( 数量，他们约束了最多改变的量。
\(\min\) 的不等式，可以改写为若干个同时成立的不等式组，于是有

\[\begin{cases} s_j+2x_1+2x_2\ge 0\\ s_j+2\min(a_{1,j},b_{1,j})+2x_2\ge 0\\ s_j+2x_1+2\min(a_{2,j},b_{2,j})\ge 0 \end{cases} \]

对这些不等式组取并后大力枚举一维即可。