CF Records ep.1

收录 CF 做题记录。

1. CF2119D Token Removing

Tag：D-计数 DP。
对被删除的数的集合做讨论，假定其为 \(B\)，对于 \(b\in B\)：

• \(\exists i\ge b\)，\(a_i\le b\)。

那么可以对于 \(B\) 中元素从大到小枚举，于是令 \(f_{i,j}\) 表示当前枚举到第 \(i\) 个下标，\(B\) 中最大值是 \(j\)，容易讨论转移，\(O(n^2)\)。

2. CF2119E And Constraint

Tag：D-DP。
差一步。
对于所有的 \(a_i\) 我们可以跑出一大把对 \(b_i\) bit 的限制，然后留下一堆 bit 可取 \(0/1\)。
结论：最终一个数最多 set 一个 bit 到 \(1\)。
基于此，直接 dp \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) set 的 bit 是第 \(j\) 位，所对应的最小答案，于是在 \(O(n\log^2V)\) 的时间复杂度解决问题。

3. CF2119F Volcanic Eruptions

Tag：M-Ad-hoc。
可以这样 claim，我们最终的路径会形如：

• 一条 \(1/-1\) 交叉链。
• 在 \(1/1\) 之间反复，累计 \(S\) 到一定量。
• 走到一个尽量远的地方。
• 在 \(1/-1\) 之间反复横跳。

前两者可在一次 BFS 时完成，剩下用一次 DFS，记录下到 \(1/1\) 的沿途最短距离，需要加的 \(1/1\) 的量，以及当前的权值需求，即可转移。
于是做到 \(O(n+m)\)。

4. CF2124E Make it Zero

Tag：M-构造。
Claim：最多两步即可。
于是尝试枚举两步的断点 \(i,j\)，那么我们可以解出六段数的和，通过这个可以直接构造出答案。
然后发现 \(O(n^2)\) 过不去，于是尝试钦定 \(j=i+1\) 然后过了，\(O(n)\)。

5. CF2124F Appending Permutations

Tag：D-计数 DP
复读官方题解。
记 \(f_{i,j}\) 表示填完 \(i\) 的后缀，满足 \(i\) 位为 \(j\) 的方案数。
预处理 \(c_{i,j}\) 使得其为最大的，使得 \(j\) 向后合法延伸以 \(c_{i,j}\) 为开头的等差数列的长度。
处理一个后缀和 \(suf_{i,j}\) 表示在 \(i\) 的后缀中可以插入 \(j\) 的方案数，忽视 \(a_i\) 之后上升段的合法性。
处理法是：\(suf_{i,j}=\sum_{x=i}^n [c_{x,1}\ge j-1]\sum_{k}f_{x+j-1,k}\)，理由是在 \(x\) 放置 \(1,2,\ldots,j-1\)，然后前面填上 \(j,j+1,\ldots\)，后缀累积即可。
倒序枚举，每次枚举时：

• \(f_{i,1}\)，枚举后续长度，去除 \(f_{i+l,l+1}\) 防止算重。
• \(f_{i,>1}\)，答案为 \(suf_{i+1,j}-suf_{i+1+c_{i,j},j}\)，差分去除掉违反限制的方案。

\(O(n^2)\)。

6. CF2112E Tree Colorings

Tag：D-DP。
给一棵树的情况下，记 \(f_{i}\) 表示 \(i\) 染色为绿色的总方案数，那么可以得到 \(f_u=\prod_{v\in son(u)} (f_v+2)\)。
基于此考虑直接递推 \(g_i\) 表示凑出 \(i\) 的最小方案，则 \(g_i=\min_{x|i} g_{x-2}+g_{i/x}\)。
容易枚举倍数做到 \(O(n\log n)\)。

7. CF2112F Variables and Operations

Tag：G-最短路。
\(a_{x_i}\to \min(a_{x_i},a_{y_i}+z_i)\) 本质上是 \((y_i,x_i,z_i)\) 这条有向边的松弛。
于是问题变成了，改变松弛顺序是否会使得 \(i\) 的最短路受到改变。
所谓的一定 stable 则意味着，\(i\) 这个点到任意点的最短路边数 \(\le 1\)。
判掉这个之后，考虑 set 初始 \(a\) 使得 \(i\) 的最短路可以通过改变松弛顺序改变，记录初始最短路为 \(f_{i,j}\)，只考虑一条边的最短路（初始矩阵）为 \(g_{i,j}\)，对于 \(i\)，则对于 \(j\) 若有 \(f_{i,j}=g_{i,j}\)，则这些点的最小权需要作为减小的值，\(f_{i,j}<g_{i,j}\) 则提供限制。
前面 Floyd \(O(n^3)\) 预处理，后面每组询问 \(O(n^2)\) 枚举回答，于此做到 \(O(n^3+m+n^2q)\)。

8. CF1394C Boboniu and String

Tag：M-二分；M-Ad-hoc。
所谓相似就是 B N 字符数相同，对所有的字符串预处理出 \(x_i,y_i\) 表示 B 的数量和 N 的数量，那么一次操作相当于向右上、左下、上、下、左、右移动一步。
于是问题变为选一个点，使得在这样的距离定义下，到 \(n\) 个点的距离最大值最小。
二分答案 \(t\)，考虑 check \(t\)，不难发现问题等价于若干不等式的并：

\[\begin{cases} x\le x_i+t\\ x\ge x_i-t\\ y\le y_i+t\\ y\ge y_i-t\\ x-y\le x_i-y_i+t\\ x-y\ge x_i-y_i-t \end{cases} \]

对不等式求并后判断有无解即可，求并可以预处理，于是做到 \(O(n+\log \Sigma)\)。