Why系列:0.1 + 0.2 != 0.3

为了知道更多一点,打算自己来一个why系列。

  • 面试官:同学, 请问 0.1 + 0.2 等于多少
  • 同学:不等于0.3, 因为精度问题
  • 面试官:能更深入的说一下嘛
  • 同学:......

上面的同学,就是曾今的我!

所以,干!

来解决 0.1 + 0.2 这个小学生都会的题目,大致分三个步骤

  1. 进制转换
  • 十进制转二进制
  • 二进制转十进制
  1. IEEE 754浮点数标准
  2. 浮点数计算
  3. 0.1 + 0.2

进制转换

十进制转二进制

  • 整数: 采用 除2取余,逆序排列法。具体做法是:用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为小于1时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。
  • 小数: 采用乘2取整,顺序排列法。具体做法是:用2乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用2乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的小数部分为零,此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止

我们依旧使用 9.375 来分析,

先看整数部分:9, 按照规则,除2取余,逆序排列
结果为: 1001

再看小数部分: 0.375 ,按照规则 采用乘2取整,顺序排列
结果为: 011

结合起来 9.375 = 整数2 + 小数2 = 1001 + .011 = 1001.011

验证:

(9.375).toString(2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call(9.375, 2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call( Number(9.375), 2) // 1001.011

二进制转十进制

  • 小数点前或者整数要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方并递增
  • 小数点后则是从左往右乘以二的相应负次方并递减。

例如:二进制数1001.011转化成十进制

整数部分:1001 = 1 * 20 + 0 * 21 + 0 * 22 + 1 * 23 = 1 + 0 + 0 + 8 = 9
小数部分:011 = 0 * 2-1 + 1 * 2-2 + + 1 * 2-3 = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.375

1001.0112 = 整数部分 + 小数部分 = 910 + 0.375 10 = 9.375

当然我们怎么验证结果了,调用Number.prototype.toString

(9.375).toString(2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call(9.375, 2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call( Number(9.375), 2) // 1001.011

IEEE 754浮点数标准


以双精度浮点格式为例,如上图,三个参数 S E M:

名称                        长度        比特位置

符号位    Sign  (S)      : 1bit        (b63)
指数部分Exponent (E)     : 11bit      (b62-b52)
尾数部分Mantissa   (M)   : 52bit      (b51-b0)

双精度的指数部分(E)采用的偏置码为1023

S=1表示负数 S=0表示正数

求值公式 (-1)^S*(1.M)*2^(E-1023)
这里有一个额外的参数,偏移码 1023, 更多可以参考IEEE 754浮点数标准中64位浮点数为什么指数偏移量是1023
结合公司来看, 各个参数是怎么工作的:
二进制可能不好理解,我们先看一个10进制的数, 比如 1001.125, 我们可以写成

  • 1001.125
  • 100.1125*101
  • 10.01125*102
  • 1.001125*103

上面的(-1)^S*(1.M)*2^(E-1023) 同 1.001125*103 只不过使用的是二进制而已。
如果是小数了,同理 0.0000125 就是 1.25 * 10-5

我们来看看一个二进制的例子, 比如 103.0625

  • S 符号位
    因为正数,所以 S为0
  • E 指数位
    1. 转为二进制为 1100111.0001
    2. 规范化 1.1001110001 * 26, 6 = E - 1023 , E = 1029
    3. E = 1029 , 转为二进制 10000000101
  • M 尾数位
    对于 1.1001110001 , M的值为 1001110001, 因为长度有52位,后面补充0就行, 结果为
    1001110001000000000000000000000000000000000000000000

拼接来 0-10000000101-1001110001000000000000000000000000000000000000000000

至于如何验证对不对,可以去IEEE 754 64位转换工具 验证一下。

大家知道,十进制有无限循坏小数,二进制也是存在的。遇到这种情况,10进制是四舍五入,那二进制呢。 只有0和1,那么是1就入吧。
当然 IEEE 754 是有好几种舍入误差的模式的,更多细节可以阅读 IEEE 754浮点数标准详解

我们看看 1.1, 最后尾数部分 000110011001100110011001100110011001100110011001100152 (11001)循环 ,53位是1,那就进位吧,
结果为 0001100110011001100110011001100110011001100110011010

这里知道十进制,怎么转换为二进制的浮点数存储了,下面就可以进行运算。

浮点数计算

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成:对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断。 更多细节,可以阅读浮点数的运算步骤

1.对阶

这里的阶,就是指数位数,简单说,就是指数位保持一致。 即⊿E=E x-E y,将小阶码加上⊿E,使之与大阶码相等。
拿是十进制举例, 123.5 + 1426.00456

  • 等价于 1.235*102 + 1.42600456 * 103
  • 和指数高的对齐,高的为3 ,变成 0.1235*103 + 1.42600456 * 103

123.5 + 1426.00456 = 0.1235*103 + 1.42600456 * 103 = (0.125 + 1.42600456) * 103 = 1.54950456 * 103 = 1549.50456

举例是十进制, 计算机执行的是二进制而已。 这个过程可能会有几个问题。

  • 小阶对大阶的时候,会右移动, 因为指数部分,最多保留52位,就可能丢。
  • 相加或者相减,值可能溢出,就有了后面的溢出判断。

2.尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。

3.结果规格化

在机器中,为保证浮点数表示的唯一性,浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说,就是尾数必须是1.M的形式。
再拿十进制举例。

80.5 + 90 = 8.05*101 + 9.0*101 = 17.051
尾数必须是1.M的形式 ,规格化 => 1.705 2

4.舍入处理

浮点运算在对阶或右规时,尾数需要右移,被右移出去的位会被丢掉,从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失,可以将一定位数的移出位先保留起来,称为保护位,在规格化后用于舍入处理。
IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法,默认使用四舍五入。

5.溢出判断

与定点数运算不同的是,浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。
若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数,则为上溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正上溢,记为+∞,若浮点数为负数,则为负上溢,记为-∞;若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数,则为下溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正下溢,若浮点数为负数,则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理

0.1 + 0.2 != 0.3

换算成 IEEE 754 标准的二进制数据结构

在如上基础之类,我们再开始我们的议题0.1 + 0.2 != 0.3, 计算机首先会把十进制转为二进制,然后进行加法。
0.1 转 二进制为, 终止条件是 直到积中的小数部分为零, 但是从下面的结果来看, 所以简单表示为

0.0 0011 0011 (0011)无限循环,无限循环,这可不行,这次轮到 IEEE 754标准 出场了,IEEE 754标准定义了单精度和双精度浮点格式

2 * 0.1   
2 * 0.2        0

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1
.....无限循环0011....

我们以0.1为例,开始计算

  • 符号位S
    因为是正数,那么符号位为 0 。
  • 指数部分E
    首先我们将0.1转为2进制数0.0 0011 0011 (0011)无限循环,因为是正数,那么符号位为 0。 然后我们根据正规化的二进制浮点数表达,那么它以1.bbbbb...这种形式表示, 为:1.1001 1001 (1001)无限循环 x 2-4
    E-1023 = -4 那么 E = 1019, 1019的二进制表示为 1111111011, 因为有11位,前面加0, 为01111111011
  • 尾数部分M, 无限循环
    1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001无限循环
    当64bit的存储空间无法存储完整的无限循环小数,而IEEE 754 Floating-point采用round to nearest, tie to even的舍入模式。
    1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 就进位为
    1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010

最终
0-01111111011-1001100110011001100110011001100110011001100110011010
你也可使用 IEEE 754 64位转换工具来验证自己的结果是否正确。

同理0.2的最终结果为
0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

接下来,进行标准的浮点数运算

对阶

小阶对大阶。
0.1 的指数 01111111011 = 1019
0.2 的指数 01111111100 = 1020
0.2 的指数大,0.1的调整指数位为 01111111100, 同时位数部分右移一位,如下:

0.1    0-01111111100-11001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2    0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010   

尾数运算

可以看到有进位

    0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010    ---0.1尾数  
    1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010     ---0.2尾数      
-----------------------------------------------------------------------------
   10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110     
    
         结果

结果规格化

需要右移一位, E+1 = 1020 + 1 = 1021 = 1111111101
1.M = 1.001100110011001100110011001100110011001100110011001110

舍入处理

尾数小数部分 0011001100110011001100110011001100110011001100110011 10 长度为54,
四舍五入 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

溢出检查

指数没有溢出

结果计算::

E 为 1021, S为0
计算值: (-1)^S*(1.M)*2^(E-1023) => (1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)*2^(-2)
=> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100

通过 在线进制转换, 结果为 0.30000000000000004

话外

既然有这个问题,那么我们怎么老保证结果的正确性呢。

  • 比如钱,明确的知道最多两位小数, 那么不妨 先 *100
  • 与一个非常小的值对比。比如 Number.EPSILON

浮点数的运算步骤
IEEE 754-维基百科
IEEE 754浮点数标准详解
JS魔法堂:彻底理解0.1 + 0.2 === 0.30000000000000004的背后
IEEE 754 64位转换工具

posted @ 2020-12-04 18:01  -云-  阅读(444)  评论(0编辑  收藏  举报