CF1097G Vladislav and a Great Legend（斯特林数+树上背包）

题目：洛谷CF1097G、CF1097G

题目描述：

给了一棵\(n\)个点的树，对于树上的一个点集\(X\)，令\(f(X)\)为点集\(X\)所形成的最小联通子树的边数，求这棵树所有\(X\)的\((f(X))^k\)之和

\(n \leq 10^5\)，\(k \leq 200\)

蒟蒻题解：

看到\(k\)次方，我们考虑斯特林数：

\[\sum_{X} (f(X))^k = \sum_{X} \sum_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} (f(X))^{\underline{i}} = \sum_{X} \sum_{i=0}^{k} \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} i! \binom{f(x)}{i} = \sum_{i = 0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} i! \sum_{X} \binom{f(x)}{i} \]

对于\(\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\)，我们可以直接\(k^2\)暴力求出来

观察到\(\binom{f(x)}{i}\)表示在最小联通子树的\(f(x)\)条边中任选\(i\)条的方案数，看起来可以用树上\(dp\)解决

设\(f_{x,i}\)表示在以\(x\)为根的子树内，所有的非空最小连通块选出其中\(i\)条边的方案数，令\(ans_i\)表示\(\sum_{X} \binom{f(x)}{i}\)

令当前的根节点为\(x\)，\(u\)为\(x\)的一个儿子节点，要把\(u\)合并上来，\(f_{x,i}\)有以下几种情况：

1. 合并前以\(x\)为根的子树
2. 合并前以\(u\)为根的子树
3. 将以\(x\)为根的子树和以\(u\)为根的子树合并起来，要注意考虑是否把\(x\)->\(u\)这条边合并上来的情况\((f_{x,i}+=f_{x,j}f_{u,i-j}+f_{x,j}f_{u,i-j-1})\)，并把这个答案加进\(ans_i\)里

打完发现样例都过不了，想想漏了什么情况

由于一棵最小联通子树的根节点不一定要选，所以要把没有连到根的部分也传递上去，所以第\(2\)中情况应该改为：合并前以\(u\)为根的子树，并加上选\(x\)->\(u\)这条边（这部分不能加进\(ans_i\)内）

这样就可以用树上背包解决了，树上背包的时间复杂度是\(\mathcal O(nk)\)的

总的时间复杂度\(\mathcal O(m^2 + nk)\)

参考程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Re register int
typedef long long ll;

const int N = 100005, M = 205, p = 1e9 + 7;
int n, k, cnt, s, hea[N], nxt[N << 1], to[N << 1], S[M][M], siz[N], f[N][M], g[M], ans[M];

inline int read()
{
	char c = getchar();
	int ans = 0;
	while (c < 48 || c > 57) c = getchar();
	while (c >= 48 && c <= 57) ans = (ans << 3) + (ans << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return ans;
}

inline void add(int x, int y)
{
	nxt[++cnt] = hea[x], to[cnt] = y, hea[x] = cnt;
}

inline int inc(int x, int y)
{
	x += y;
	return x < p ? x : x - p;
}

inline void dfs(int x, int fa)
{
	siz[x] = f[x][0] = 1;
	for (Re i = hea[x]; i; i = nxt[i])
	{
		int u = to[i];
		if (u == fa) continue;
		dfs(u, x);
		g[0] = inc(f[x][0], f[u][0]);
		for (Re j = 1; j <= k && j < siz[x] + siz[u]; ++j) g[j] = inc(f[x][j], inc(f[u][j], f[u][j - 1]));
		for (Re j = 0; j < siz[x] && j <= k; ++j)
			if (f[x][j])
				for (Re t = 0; t < siz[u] && j + t <= k; ++t)
					if (f[u][t])
					{
						int v = 1ll * f[x][j] * f[u][t] % p;
						g[j + t] = inc(g[j + t], v), ans[j + t] = inc(ans[j + t], v);
						g[j + t + 1] = inc(g[j + t + 1], v), ans[j + t + 1] = inc(ans[j + t + 1], v);
					}
		siz[x] += siz[u];
		for (Re j = 0; j <= k && j < siz[x]; ++j) f[x][j] = g[j];
	}
}

int main()
{
	n = read(), k = read(), S[0][0] = 1;
	for (Re i = 1; i < n; ++i)
	{
		int u = read(), v = read();
		add(u, v), add(v, u);
	}
	for (Re i = 1; i <= k; ++i)
		for (Re j = 1; j <= i; ++j) S[i][j] = (1ll * S[i - 1][j] * j + S[i - 1][j - 1]) % p;
	dfs(1, 0);
	for (Re i = 1, j = 1; i <= k; j = 1ll * j * (++i) % p) s = (1ll * S[k][i] * j % p * ans[i] + s) % p;
	printf("%d", s);
	return 0;
}