Free Theorem 自由定理

Free Theorem 自由定理

理论

参数多态性

参数多态性: 多态函数的行为对类型变量代表的所有类型一致, 不能依赖具体类型

自由定理

自由定理: 通过函数类型中的类型变量, 可以推导出函数必须满足的等式或行为

Haskell 限制

理想化数学模型中, 自由定理基于纯函数假设, 故严格成立

但 Haskell 的某些特性会破坏纯函数假设

• Monad

  纯 Monad (Maybe, Reader) 自由定理完全有效

  副作用 Monad (IO, State) 自由定理部分受限

• 高级类型特性

  类型类, GADTs(广义代数数据类型)等引入特定类型约束, 部分限制自由定理. 如 Eq a 类型约束赋予类型 a 相等性语义

• seq

  seq 强制求值, 可能使多态函数的行为依赖未定义值 ⊥

  f :: a -> a
  f x = x `seq` x  -- 若 x = ⊥，则 f x = ⊥，但这不影响定理的“理想”形式
  

• 类型系统扩展

  某些 GHC 扩展(Typeable)允许绕过参数多态性, 破坏自由定理

案例

f :: a -> a

自由定理得到 f = id

增: 不能构造特定于 a 类型的值

删: 由于需要返回 a 类型值, 本质还是需要构造 a 类型值

改: 除了直接返回外，没有操作能作用在任意类型上

f 无法构造特定于 a 的值, 也不能删除或改变输入值, 只能返回输入值本身

f :: a -> a
f = id

f :: [a] -> [a]

自由定理得到 f 是列表结构操作

增: 不能构造 a 类型值, 但能根据已有 a 类型值扩充, 即列表结构增加

删: 不能根据值本身的信息删除, 只能根据位置信息删除，也就是列表

结构减少

改∶不能根据元素信息改，因为要适配任意类型

f 无法构造特定于 a 的值, 只能进行列表结构操作

David Luposchainsk

f :: [a] -> [a]
map g . f  = f . map g

fmap :: (a->b) -> f a -> f b

自由定理得到 fmap (f . g) = fmap f . fmap g

自由定理得到:

• 若 f . g = p . q
• 则 fmap f . fmap g = fmap p . fmap q

若函子第一定律 fmap id = id 成立

设 p = id, q = f . g

则

  fmap f . fmap g 
= fmap id . fmap (f . g)
= id . fmap (f . g)
= fmap (f . g)

也就是函子第二定律

fmap f . fmap g = fmap (f . g)

David Luposchainsk

School of Haskell