行列式公式
\(2*2\) 矩阵行列式公式推导
利用行列式性质3，每一行的线性性质，将向量分解
\[\begin {align}
|A|=&\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|\\
=&\left|
\begin{array}{cc}
a & 0 \\
c & d \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
0 & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|\\
=&\left|
\begin{array}{cc}
a & 0 \\
c & 0 \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & d \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
0 & b \\
c & 0 \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{cc}
0 & b \\
0 & d \\
\end{array}
\right|\\
=&0+ad-bc+0\\
=&ad-bc
\end {align}
\]
我们希望找到任意阶行列式公式。
这种方法就是一次取一行，利用性质3对其进行分解
例如，\(3*3\) 矩阵，第一行分解得到3部分，第二行分解得到9部分，第三行分解得到27部分。但这些部分有很多是零，幸存者是每行每列均只有一个元素。
\[\begin {align}
&\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right|\\
=&\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0\\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & 0 & a_{33} \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0\\
0 & 0& a_{23} \\
0 & a_{32} & 0 \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0\\
0 & 0& a_{23} \\
a_{31} & 0 & 0 \\
\end{array}
\right|+\\
&\left|
\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0\\
a_{21} & 0& 0 \\
0 & 0 & a_{33} \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13}\\
a_{21} & 0& 0 \\
0 & a_{32} & 0 \\
\end{array}
\right|+\left|
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13}\\
0& a_{22}& 0 \\
a_{31} &0 & 0 \\
\end{array}
\right|\\
\\
=&a_{11}*a_{22}*a_{33} -a_{11}*a_{23}*a_{32} +a_{12}*a_{23}*a_{31} -\\&a_{12}*a_{21}*a_{33} +a_{13}*a_{21}*a_{32}- a_{13}*a_{22}*a_{31}
\end {align}
\]
行交换次数是单数就在前面加负号，偶数就加正好。
\(2*2\) 分解后总共有2项，\(3*3\) 是6项，\(n*n\) 是 \(n!\) 项（阶乘）。并且，分解部分一半为正，一半为负。
根据前面我们就能得到任意阶的行列式公式
\[\text{detA}=\sum _{n!} \pm a_{1 \alpha }*a_{2 \beta }*a_{3 \gamma }*\text{...}*a_{\text{n$\omega $}}
\]
其中，列标组合 \((\alpha,\beta,\gamma...\omega)\) 是 \((1,2,3...n)\) 的某种排列。
每个列下标均用到一次。
举例
利用公式求以下矩阵的行列式
\[\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
我们可以写出列下标组合
\[(4,3,2,1) \rightarrow +1\\
(3,2,1,4) \rightarrow -1\\
\]
每列确保只能有一个元素，每列只用一次，所以只有2个排序，根据把她们交换得到标准排序 $(1,2,3,4) $ 所需要的次数，在前面加上相应的符号。所以行列式结果为0.
代数余子式
代数余子式的作用是把 \(n\) 阶行列式化简为 \(n-1\) 阶行列式。
以 \(3*3\) 矩阵行列式为例
\[\begin {align}
&a_{11}*a_{22}*a_{33} -a_{11}*a_{23}*a_{32} +a_{12}*a_{23}*a_{31} -a_{12}*a_{21}*a_{33}
+a_{13}*a_{21}*a_{32}- a_{13}*a_{22}*a_{31}\\
=&a_{11}*(a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})\\
+&a_{12}*(a_{23}*a_{31}-a_{21}*a_{33})\\
+&a_{13}*(a_{21}*a_{32}-a_{22}*a_{31})\\
\end {align}
\]
将每一部分选定的那一项提取出来，剩下括号里面的表达式就是代数余子式。
以 \(a_{11}*(a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})\) 为例，\((a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})\) 是 \(a_{11}\) 的代数余子式。
会发现 \((a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})\) 刚好是一个 \(2*2\) 矩阵的行列式。
\[\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \square & \square \\
\square & a_{22} & a_{23} \\
\square & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}
\right)
\]
一旦选择 \(a_{11}\) ,剩余因子从剩余的 \(n-1\) 行和 \(n-1\) 列中取，每个元素只选一次，于是剩余因子会组成 \(n-1\) 阶行列式。这就是代数余子式的概念。
\(3*3\) 行列式就是选定元素乘以相应的 \(2*2\) 行列式。
\[Cofactor\quad of \quad a_{ij}=C_{ij}=±det(n-1 \quad matriax \quad with \quad rowi\quad colj\quad erased)
\]
当 \(i+j\) 为偶数时取正，\(i+j\) 为奇数时取负。
求第一行的代数余子式，只要求相应的 \(n-1\) 阶行列式，再在前面根据 \(i+j\) 奇偶性加上正负号即可。
行列式的代数余子式方程是什么？
如果沿第 \(i\) 行展开，可得
\[detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}
\]
这是求行列式的另一种方法。
比如
\[\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|=ad-bc
\]
选定 \(a\) ,去掉第一行和第一列， \(a\) 代数余子式只有 \(d\).
选定 \(b\) ,去掉第一行和第二列， \(b\) 代数余子式只有 \(-c\).
上节课我们讲到，可以用消元法得到行列式的主元，然后用主元求解行列式，称之为主元公式，她能迅速得到答案，通过主元求解比什么都简单；而行列式大公式共有 \(n！\) 项，完全展开是很复杂的；利用代数余子式求解行列式的简便介于两者之间，她得到一些数和行列式的乘积，让原行列式展开成更简单的行列式，这也是代数余子式公式的核心思想。
利用代数余子式公式计算行列式.
例如：计算三对角线矩阵行列式
（注意这个矩阵是有规律的，非0元素排列在三条对角线上，她以\(\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\right)\) 这样一直对角写下来）
\[A_4=\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
将 \(4*4\) 矩阵记为 \(A_4\), \(3*3\) 矩阵记为 \(A_3\), \(2*2\) 矩阵记为 \(A_2\), \(1*1\) 矩阵记为 \(A_1\).
可以求得
\(|A_1|=1\)
\(|A_2|=0\)
\(|A_3|=-1\)
\(|A_4|=1*|A_3|-1*|A_2|=-1\)
由此可以得到一个公式
\[|A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|
\]
这个例子 \(A_{13}、A_{14}\) 为0，可以忽略，因为0乘以她的代数余子式，结果为0.
由此我们可以得到
\(|A_5|=|A_4|-|A_3|=0\)
\(|A_6|=|A_5|-|A_4|=1\)
\(|A_7|=|A_6|-|A_5|=1\)
行列式以 “1，0，-1，-1，0，1”循环，以6为周期。
所以 \(|A_{61}|=|A_1|=1\)
