仙人掌&圆方树学习笔记

仙人掌&圆方树学习笔记

1、仙人掌

圆方树用来干啥?

——处理仙人掌的问题。

仙人掌是啥?

(图片来自于\(BZOJ1023\))

——也就是任意一条边只会出现在一个环里面。

当然,如果你的图片想看起来舒服一点,也可以把图片变成这样子

(图片来源于网络)

2、DFS树

为啥要写这个?--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题。

对于一个仙人掌,我们随便构建出一棵生成树。

然后我们就多了一些边——可以叫返祖边,非树边……你想叫啥就叫啥。

因为每条边只会出现在一个环中,

所以每一条返祖边覆盖了树中的一条链,这条链+这条边构成了环。

所以我们可以确定每条边都出现在了哪个环中。

这样子可以解决一点点仙人掌的问题。

比如仙人掌的最大独立集,\(dp\)的时候额外记录一下所在环的返祖边的端点的状态就好了。

3、圆方树是啥

看WC2017的营员交流的课件真的看得想死

先来定义一下什么是圆方树。

以下内容来自于课件:

仙人掌 \(G = (V, E)\) 的圆方树 \(T = (V_T , E_T )\) 为满足以下条件的无向图:
\(V_ T = R_ T ∪ S_ T , R_ T = V, R_ T ∩ S_ T = ∅\),我们称$ R_ T$ 集合为圆点、\(S_ T\)
集合为方点
\(∀e ∈ E\),若 \(e\) 不在任何简单环中,则 \(e ∈ E_T\)
对于每个仙人掌中的简单环 \(R\),存在方点 \(p_ R ∈ S_ T\) ,并且 \(∀p ∈ R\)
\((p _R , p) ∈ E_ T\) ,即对每个环建方点连所有点

听说你看完挺混乱?

我来翻译一下:

对于一个仙人掌,它的圆方树如下定义:

首先分为了两类点,一类是圆点,一类是方点。

圆点就是原仙人掌中所有的点,方点是我们新添加进去的点。

而圆方树的连边规则是这样的:

如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中,那么它直接圆方树中的两个圆点。

对于仙人掌中的任意一个环,则每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。

如何证明圆方树是一棵树?

(以下内容来自于课件)

不在环上的边在圆方树中依然存在,

因此这些边连通性不变;

每个环通过新建方点的方式连成一朵菊花,连通性不变。

因此圆方树是无向连通图。

原图中环的个数为 \(|E| − |V| + 1\),则
\(|V _T | = |S _T | + |R_ T | = |V| + |E| − |V| + 1 = |E| + 1,|E _T | = |E|\)

(大小为\(r\) 的环在仙人掌和圆方树中都是 \(r\) 条边),因此满足 \(|V_ T | = |E_ T | + 1\)

证明分为了两步:

首先证明它是联通的。

然后就证明了点数=边数+1

这样就是一棵树了。

然后让我把课件上的一张图片给蒯过来

好的,圆方树就长成这个样子啦。

4、如何构建圆方树

我想,看了上面的东西,知道了圆方树是啥,我们很容易就知道怎么构建圆方树了吧。

首先\(Tarjan\)缩点,把每个大小超过\(1\)的环里面的所有点都向一个新点(方点)连边。

然后把多出来的链接两个圆点的边直接给连上就好了。

似乎真的很简单?

5、圆方树的性质

1.方点不会直接和方点相连

证明:

方点只会和属于一个强连通分量的点相连,显然不会和方点相连。

2.无论取哪个点为根,圆方树的形态是一样的

证明:

这不还是废话吗?

对于一个环,我们显然对应的是一个方点,无论以哪个点为根,

这个环是不会变的,除了方点的编号不一样之外就没有任何不同了。

所以圆方树是无根树。

定义:子仙人掌

\(r\)为根的仙人掌上的点\(p\)的子仙人掌是去除掉\(p\)\(r\)的所有简单路径后,\(p\)所在的联通块

3.以\(r\)为根的仙人掌上\(p\)的子仙人掌就是圆方树中以\(r\)为根时,\(p\)子树中的所有圆点

证明:

如果\(p\)不在环上,显然成立。

否则,此时去除所有到达根节点的所有简单路径后,

剩下的只有和\(p\)相连的,并且不和\(p\)在一个环内的点

显然是圆方树上\(p\)子树中的圆点(和它在一个环内的圆点都不和它直接相连了)

6、如何解决仙人掌上的一些简单的问题

a.求仙人掌的最大独立集(BZOJ4316)

这道题目显然有直接用\(dfs\)树的\(dp\)求法,见这里

但是我们是在学习仙人掌,所以当然要用仙人掌的方法来求解啊。

其实这里圆方树没有必要出来,没有必要区分圆点和方点。

我们也是直接做\(dp\),但是与\(dfs\)树不同的是,

我们直接在\(Tarjan\)过程中做\(dp\)(似乎本质也是\(dfs\)树?)

碰到圆圆边(圆点和圆点直接的边)就是普通的树型\(dp\)进行转移

如果是一个环上的边的话,那么我们先暂时不进行操作。

当回到这个环的最上方的时候,对于这个环就行一次单独的\(dp\)

将答案累加给环的顶端,这样向上转移又和树一样了

具体的题解戳这里

b.求仙人掌直径(BZOJ1023)

和普通的树求直径用一样的\(dp\)就可以了。

对于一个环,拉出来特殊考虑,用一个单调队列维护一下。

具体的实现方法戳这里

c.仙人掌两点间的最短路(BZOJ2125)

构建出圆方树(圆方树:终于需要用到我了),直接把圆方树树链剖分(主要是用来求\(LCA\))

圆圆边和原仙人掌是同构的,圆方边的权值定义如下:

我们知道方点的父亲一定是圆点(转换为有根树之后),

这样子把每条圆方边的权值赋为到达方点父亲的最短路径就好啦。

更加详细的题解和代码戳这里

这一部分的小节

前两个问题似乎用不到圆方树,只需要普通的\(dp\)即可解决。实现的方法和普通的树型\(dp\)是类似的,但是也有几点区别:首先不是普通的\(dfs\),而是\(Tarjan\)算法的实现过程中,顺带解决\(dp\)问题。另外一个是仙人掌上的问题需要额外处理环的问题,每次找到环之后需要特殊处理。所以,解决这类问题也就是两步:首先想好怎么在树上解决(圆圆边如何解决),然后想好怎么处理环的答案。

第三个问题就需要用到圆方树啦,然而本质仍然是处理环和普通的树边之间的关系,只需要把这层关系想清楚,这一类问题应该还是比较好解决的。

7、广义圆方树

前面的圆方树只能解决仙人掌的问题。

那么,对于一个一般的无向图,我们显然也是可以利用圆方树来解决的(要不然我写什么广义圆方树啊?)

我们在仙人掌中是对于每个点双构建一个方点,在一般图中我们也这么做。

然后方点向所有点双中的点连边,差不多和仙人掌上的圆方树是一样的啦。

当然,和仙人掌上的圆方树是有区别的啦,仙人掌上的圆方树是圆圆点之间是可能有边的。

那么,广义圆方树呢?

先蒯张图过来(来自\(ppl\)\(blog\))

发现了啥?

圆点和方点是相间的,怎么搞?——强制把两个点也看成一个点双就好了

先找到题目来吧

带修改,求无向图中两点之间所有简单路径上的最小权值(CF487E)

当然了,这道题目有翻译好的版本UOJ#30,洛谷

首先我们不考虑修改,再来想想这道题目。

我们既然要求的是最小值,那么,在经过一个点双的时候,走的一定是具有较小权值的那一侧。

所以说,我们可以让所有的方点表示它所在的点双的最小权值,

这样子只需要对于圆方树树链剖分之后维护链的最小值就行了。

好的,回归带修改,无非是要动态的维护一下方点的最小权值了。

你问我怎么动态维护若干个值的最小值?搞个\(multiset\)不就好了吗?

但是,现在问题又来了,如果每次修改一个点的权值(这个点当然是圆点啦),

那么,必定会修改所有和它相邻的方点,如果是一个菊花树,然后我们拼命修改根节点,这样子复杂度就起飞了。

现在让我们打开脑洞,大力思考一下怎么办?

我们强行让方点的权值不包括它的父亲(也就是只算它的儿子)

如果求解的时候\(LCA\)是方点,则额外计算一下方点父亲的权值

这样子每个圆点在修改的之后只需要向上修改给父亲方点啦!

于是,我们得到了\(Tarjan\)+圆方树+树链剖分+线段树+\(multiset\)\(O(nlog^2n)\)的做法啦

(为什么要手写可删堆啊?\(multiset\)不好吗?)

代码和题解

8、完结撒花

呼,终于写完啦。

最后再来总的说一说仙人掌和圆方树。

对于仙人掌,我们对应的圆方树唯一。

无论是广义圆方树还是普通的圆方树,和普通的树相比,唯一的区别就是要额外考虑方点的贡献。

总的来说,就是码农+思维题啦,只要想清楚方点的处理,一切都很好办了。

posted @ 2018-05-28 08:09 小蒟蒻yyb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏