【BZOJ1921】【CTSC2010】珠宝商(点分治,后缀自动机)

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题面

洛谷
BZOJ权限题

题解

如果要我们做暴力,显然可以以某个点为根节点,然后把子树\(dfs\)一遍,建出特征串的\(SAM\),就可以直接计算出现次数了。复杂度是\(O(size^2)\)
另外一种暴力是我们枚举以某个点为中心,考虑在其两棵不同子树内各选择一条链,然后拼接在一起计算答案。我们假设选择了\(R\)为中心,然后有一条\((u\rightarrow R)\)的链,有一条\((R\rightarrow v)\)的链,我们把\((u\rightarrow R)\)这个串在每个匹配到的结尾位置打上一个标记,把\((R\rightarrow v)\)这个串在每个被匹配到的开头位置打上一个标记,于是我们就只需要把每个位置的左右两个标记乘起来就是答案了。
然后考虑怎么打这个标记,对于在开头位置打标记,显然是匹配上了一个后缀的前缀,那么我们把后缀树建出来,因为每一个后缀上的一个叶子节点对应着一个后缀,这样子我们只要在后缀树上找到这个串匹配的节点,然后其子树的所有叶子节点对应的后缀的开头位置都要\(+1\),于是子树加可以变成在后缀树上的匹配点单点加,最后一次\(dfs\)一次后缀树就好了。类似的,在结尾位置打标记就是在前缀的一段后缀打标记,那么建出前缀树就行了。于是我们就可以做到\(O(m+size)\),其中\(m\)是特征串的长度。但是这样子会出现\(R\)的相同子树里的一个从上往下的串和一个从下往上的串进行了匹配,于是我们还要对于每一个子树进行去除。
现在有了这两种复杂度不同的做法,显然我们可以按照\(B=\sqrt m\)来分类讨论,对于\(size\le B\)直接\(O(size^2)\)暴力,否则对应下面这种的\(O(m+size)\)的做法,注意对于容斥减去相同子树内的贡献的时候,也需要考虑使用两种对应的方法,否则复杂度是假的。
upd:
补一下关于复杂度的证明:
对于第一类暴力,单次是\(O(size^2)\)的,因为这样处理完之后所有子树的答案已经贡献完毕,可以直接返回,所以只需要在分治子树大小第一次小于\(B\)的时候统计答案,然后因为所有这样的子树两两不交,所以\(\sum size\)是不会超过\(n\)的,而\(\sum size^2\le \frac{n}{B}B^2=nB\),所以这一部分的复杂度是\(O(nB)\)的。
对于第二类暴力,我们考虑\(size\gt B\)的分治重心的个数,根据点分治的性质,没有子树的\(size\)会大于父亲的一半,所以每次向上至少要合并两个\(size\gt B\)的分治子树,而这样子的子树不会超过$ \frac{n}{B}\(个,所以向上合并的次数不会超过\)\frac{n}{B}$次,所以这样子的分治重心的个数不会超过\(2\frac{n}{B}\),而这样子单次复杂度是\(O(size+m)\),所以这部分的总复杂度是\(O(\frac{n}{B}m)\)
综上\(\frac{n}{B}m=nB\),即\(B=\sqrt m\)的时候复杂度最优,为\(O((n+m)\sqrt m)\)


代码被我咕咕咕了怎么办......

posted @ 2019-07-08 14:37 小蒟蒻yyb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏