单位根反演

单位根反演

看起来原来是写过一次这道题目的。
然而从来没有想过为什么。
所以来从头算一算QwQ。
式子是这样的:
\[\forall k,[n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}\]
简单的证明:
首先当\([n|k]\)的时候,\(\omega_n^{ik}=\omega^0=1\),所以原式等于\(1\)
否则是一个等比数列求和,\(\displaystyle \frac{1}{n}\frac{\omega_n^{nk}-\omega_n^0}{\omega_n^k-1}=0\)


加入我们要算某个多项式的特定倍数的系数和。
也就是要求这个:\(\displaystyle \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)\)
那么我们来推推式子:
\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{[\frac{n}{k}]}[x^{ik}]f(x)&=\sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\\ &=\sum_{i=0}^n [x^i]f(x)\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ji}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^n a_i\sum_{j=0}^{k-1}\omega_{k}^{ij}\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n a_i(\omega_k^j)^i\\ &=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}f(\omega_{k}^j) \end{aligned}\]

posted @ 2019-05-09 14:59 小蒟蒻yyb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏