【BZOJ5339】[TJOI2018]教科书般的亵渎（斯特林数）

【BZOJ5339】[TJOI2018]教科书般的亵渎（斯特林数）

题面

BZOJ
洛谷

题解

显然交亵渎的次数是\(m+1\)。
那么这题的本质就是让你求\(\sum_{i=1}^n i^{m+1}\)，中间再减掉几项直接暴力就行了。
所以只要考虑求这个东西。
比如说斯特林数？

\[m^n=\sum_{i=0}^{n}{m\choose i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \]

那么

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n i^m&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^m {i\choose j}j!\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{j=0}^m j!\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^n{i\choose j}\\ &=\sum_{j=0}^m j!\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}{n+1\choose j+1}\\ &=\sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}\frac{(n+1)^{\underline {j+1}}}{j+1} \end{aligned}\]

这样子可以做到\(O(m^2)\)。
斯特林数直接\(O(m^2)\)暴力预处理即可。

讲个笑话，这题我long long都没开就过了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define ll long long
inline ll read()
{
	ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
int S[60][60];
int Calc(int n,int m)
{
	int ret=0;n+=1;
	for(int j=0;j<=m;++j)
	{
		int s=1;for(int k=0;k<=j;++k)s=1ll*s*(n-k+MOD)%MOD;
		ret=(ret+1ll*S[m][j]*s%MOD*fpow(j+1,MOD-2))%MOD;
	}
	return ret;
}
ll n,a[55];int m;
int main()
{
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=55;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
			S[i][j]=(1ll*S[i-1][j]*j+S[i-1][j-1])%MOD;
	int T=read();
	while(T--)
	{
		n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i)a[i]=read();
		sort(&a[1],&a[m+1]);int ans=0;
		for(int i=0;i<=m;++i)
		{
			ans=(ans+Calc((n-a[i])%MOD,m+1))%MOD;
			for(int j=i+1;j<=m;++j)ans=(ans+MOD-fpow((a[j]-a[i])%MOD,m+1))%MOD;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}