OI 笔记：E - 动态规划

E - 动态规划 状态设计

背包问题

• 一般的背包问题，将物品加进背包的顺序与最终的背包无关。
• 在所有物品中删去一个物品，若背包满足可减性，可以考虑退背包；若背包不满足可减性，可以考虑分治。
• 在所有普通物品中仅有一个物品有特殊贡献，可以考虑优先考虑该特殊物品，再考虑其他普通物品。

退背包：在背包问题中，禁用某个物品后修改 dp 数组的操作。只适用于计数类问题，不适用于最优化问题。

0/1 背包退背包：

// Join the backpack.
for (int i = m; i >= w; i --) f[i] += f[i - w];

// Exit the backpack.
for (int i = w; i <= m; i ++) f[i] -= f[i - w];

完全背包退背包：

// Join the backpack.
for (int i = w; i <= m; i ++) f[i] += f[i - w];

// Exit the backpack.
for (int i = m; i >= w; i --) f[i] -= f[i - w];

树形 dp

容量有关节点数的树上背包：\(\mathcal{O}(n^2)\)。

void dp(int u) {
	sze[u] = 1;
	for (v : son[u]) {
        for (int i = 0; i <= sze[u] + sze[v]; i ++) g[i] = 0;
		for (int i = 0; i <= sze[u]; i ++)
			for (int j = 0; j <= sze[v]; j ++)
				// f[u][i] merge f[v][j] -> g[i + j]    (O(1))
        for (int i = 0; i <= sze[u] + sze[v]; i ++) f[u][i] = g[i];
		sze[u] += sze[v];
	}
}

容量有关节点数的树上背包，时间复杂度证明：点 \(u\) 对复杂度的贡献是所有满足 \(\text{LCA}(x, y) = u\) 的无序点对 \((x, y)\) 的对数，故总时间复杂度为任意点对 \((x, y)\) 的对数，这样的点对有 \(\mathcal{O}(n^2)\) 个。

容量有关节点数且不超过 \(k\) 的树上背包：\(\mathcal{O}(nk)\)。

void dp(int u) {
	sze[u] = 1;
	for (v : son[u]) {
        for (int i = 0; i <= std::min(sze[u] + sze[v], k); i ++) g[i] = 0;
		for (int i = 0; i <= std::min(sze[u], k); i ++)
			for (int j = 0; j <= std::min(sze[v], k - i); j ++)
				// f[u][i] merge f[v][j] -> g[i + j]    (O(1))
        for (int i = 0; i <= std::min(sze[u] + sze[v], k); i ++) f[u][i] = g[i];
		sze[u] += sze[v];
	}
}

容量有关节点数且不超过 \(k\) 的树上背包，时间复杂度证明：对当前的两棵子树 \(u, v\) 的 \(sz_u, sz_v\)（不妨设 \(sz_u < sz_v\)）分类讨论。

• 当 \(sz_u > k\) 且 \(sz_v > k\) 时。每次合并的复杂度为 \(\mathcal{O}(k^2)\)，这样的合并不超过 \(\frac{n}{k}\) 次，故该部分复杂度为 \(\mathcal{O}(nk)\)。
• 当 \(sz_u \leq k\) 且 \(sz_v > k\) 时。每次合并的复杂度为 \(\mathcal{O}(sz_u \cdot k)\)，相当于小子树中的每个点都花费 \(\mathcal{O}(k)\) 的复杂度加入大子树，由于小子树中的每个点只会发生一次这样的变化，故该部分复杂度为 \(\mathcal{O}(nk)\)。
• 当 \(sz_u \leq k\) 且 \(sz_v \leq k\) 时。每次合并的复杂度为 \(\mathcal{O}(sz_u \cdot sz_v)\)，相当于 \(u\) 的子树中的每个点都花费 \(\mathcal{O}(sz_v)\) 的复杂度使得子树大小扩大 \(sz_v\)，由于小子树中的每个点扩大的值至多为 \(k\)，故该部分复杂度为 \(\mathcal{O}(nk)\)。

综上所述，总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(nk)\)。

连通性计数

连通性计数套路：容斥，枚举与 \(1\) 相连的联通块大小。

\(n\) 个点的简单有标号无向连通图个数：设 \(f_i\) 表示包含 \(i\) 个点的简单有标号无向连通图数，\(g_i = 2^{i(i - 1)/2}\) 表示包含 \(i\) 个点的有标号无向图数，则有

\[f_i = g_i - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} \binom{i - 1}{j - 1} f_{j}g_{i - j} \\ \frac{f_i}{(i - 1)!} = \frac{g_i}{(i - 1)!} - \sum\limits_{j = 1}^{i - 1} \frac{f_{j}}{(j - 1)!} \frac{g_{i - j}}{(i - j)!} \]

DAG 计数

有标号 DAG 计数套路：考虑一个不一定弱联通的 DAG，将 DAG 视作一个分层图，枚举拓扑序第一层（零入度点）节点数。

• \(\mathcal{O}(n^3)\)：设 \(f(i, j)\) 表示大小为 \(i\) 的 DAG，共 \(j\) 个零入度点时的方案数。枚举 \(k\) 为拓扑序第二层（删去拓扑序第一层后的零入度点）节点数，则

\[f(i, j) = \sum\limits_{k = 1}^{i - j} \binom{i}{j} (2^j - 1)^{k}(2^{i - j - k})^j f(i - j, k) \]

• \(\mathcal{O}(n^2)\)：设 \(f(i)\) 表示大小为 \(i\) 的 DAG 的方案数。钦定该 DAG 有 \(j\) 个零入度点，则

\[f(i) = \sum\limits_{j = 1}^i (-1)^{j + 1} \binom{i}{j} 2^{j(i - j)} f(i - j) \]

状压 dp

\(\mathcal{O}(3^n)\) 枚举子集：for (int T = S; T; T = (T - 1) & S) 可以无冗余地遍历集合 \(S\) 的所有非空子集 \(T\)。

for (int S = 1; S < (1 << m); S ++)
	for (int T = S; T; T = (T - 1) & S) // f[S] <- f[T]

枚举的时间开销为 \(\sum_{i = 0}^n \binom{n}{i}2^i = 3^n\)。

轮廓线 dp

轮廓线：在网格图中，若一个锯齿状的折线可以将网格图分割成已考虑与未考虑两类时，则称该折线为轮廓线。

轮廓线 dp：以轮廓线为状态的 dp。

• 从左下角至右上角的轮廓线必有 \(n\) 条竖边 \(m\) 条横边。用 \(1\) 表示竖边 \(0\) 表示横边，则一个从左下角至右上角的轮廓线可以被表示为一个有 \(n + m\) 位的二进制数，其中必有 \(n\) 个 \(1\)。状态总数为 \(\binom{n + m}{n}\)。

插头 dp

插头：在网格图中，一个格点有上下左右四个方向的插头，若在某方向上能与相邻的格点相连，则称在该方向有插头。

插头 dp：一种逐格转移的状压 dp。设当前转移到格点 \((i, j)\)，则状态 \(S\) 记录了第 \(i\) 行前 \(j\) 个点的下插头信息，第 \(i - 1\) 行后 \(m - j\) 个点的下插头信息，\((i, j)\) 的右插头信息。

Trick

平方

• 设 \(q_i = r_1 + r_2 + \cdots + r_k\) 表示在所有方案中选一个方案，这一个方案绘出的图案为第 \(i\) 类的方案数之和。
• 则 \(q_i^2 = \sum_{i = 1}^k\sum_{j = 1}^k r_ir_j\) 表示在所有方案中选两个方案，这两个方案绘出的图案均为第 \(i\) 类的方案数之和。
• 则 \(\sum q_i^2\) 表示在所有方案中选两个方案，这两个方案绘出的图案相同的方案数之和。

E - 动态规划 转移优化

矩阵快速幂优化 dp

• 若对于不同的阶段，有相同的转移，则可以考虑矩阵快速幂优化。
• 若对于不同的阶段，有周期性的转移，则可以考虑维护转移矩阵的循环节乘积和转移矩阵的余项乘积。
• 现要求 \(A \times G^n\)，其中 \(A\) 为 \(1 \times m\) 的初始矩阵，\(G\) 为 \(m \times m\) 的转移矩阵。
  • 预处理：\(G\) 的 \(2^i\) 次幂，即 \(G^{1}, G^2, G^4, \cdots\)。
  • 询问：将 \(n\) 二进制分解，若 \(n\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，则乘上 \(G\) 的 \(2^i\) 次幂。时间复杂度 \(\mathcal{O}(m^2 \log n)\)。
• 现要求 \(G^n\)，其中 \(n\) 为高精度整数。可以预处理出 \(G^0, G^1, \cdots, G^{9}\)，递归做十进制快速幂 \(G^n = \left(G^{\left\lfloor n / 10\right\rfloor}\right)^{10} \times G^{n \% 10}\)。

单调队列优化 dp

单调队列优化 dp：可用于优化 \(t\)D / \(e\)D（任意维度）的 dp，一般形式为

\[f_i = \min\limits_{j \in [l_i, i - 1]} / \max\limits_{j \in [l_i, i - 1]} \{ f_j + A_j + B_i \} \]

其中 \(A_j\) 是仅与 \(j\) 有关的变量，\(B_i\) 是仅与 \(i\) 有关的变量。\(f_i\) 的最左端合法决策点 \(l_i\) 单调不降。

以下讨论以取最大值为例。

• 对于两个决策点 \(j_1, j_2(j_1 < j_2)\)，若 \(f_{j_1} + A_{j_1} \leq f_{j_2} + A_{j_2}\)，则决策点 \(j_2\) 不劣于 \(j_1\)，此时只需要保留决策点 \(j_2\) 即可。
• 维护一个单调队列，满足下标 \(j\) 递增，数值 \(f_j + A_j\) 递减。
• 在计算 \(f_i\) 时，不断弹出队首直到 \(h \geq l_i\) 为止。
• 在加入决策点 \(i\) 时，不断弹出队尾直到 \(f_t + A_t > f_i + A_i\) 为止，然后将决策点 \(i\) 加入单调队列。

单调队列优化多重背包：对于 \(c_i\) 个价值为 \(v_i\) 重量为 \(w_i\) 的物品，将重量维按照模 \(w_i\) 的同余类分类转移，运用单调队列优化。

斜率优化 dp

斜率优化 dp：常用于优化 \(1\)D / \(1\)D 的 dp，一般形式为

\[f_i = \min / \max\{ f_j + A_j + B_i + C_jD_i\} \]

其中 \(A_j, C_j\) 是仅与 \(j\) 有关的变量，\(B_i, D_i\) 是仅与 \(i\) 有关的变量。

以下讨论以取最大值为例。

转化 1：

• 对于决策点 \(j\)，转移可以写成 \(\underline{f_j + A_j}_{\color{red}y} = \underline{-D_i}_{\color{purple}k} \times \underline{C_j}_{\color{red}x} + \underline{f_i - B_i}_{\color{blue}b}\) 的形式。将决策点 \(j\) 视作二维平面上的一点 \((C_j, f_j + A_j)\)，将转移视作一条斜率为 \(-D_i\) 的直线。现要求一个决策点 \((x, y)\) 使得经过该点的斜率为 \(k\) 的直线的纵截距最大。
• 维护关于决策点的上凸壳。查询时在上凸壳上二分，查找第一条斜率 \(\leq k\) 的线段。
  • 若每次插入的决策点的横坐标 \(x\) 有序，每次查询的斜率 \(k\) 有序。则可以使用单调队列维护上凸壳，查询时取队头。
  • 若每次插入的决策点的横坐标 \(x\) 有序，每次查询的斜率 \(k\) 无序。则可以使用单调栈维护上凸壳，查询时二分。
  • 若每次插入的决策点的横坐标 \(x\) 无序，每次查询的斜率 \(k\) 无序。则可以使用平衡树动态维护上凸壳。

转化 2：

• 对于决策点 \(j\)，转移可以写成 \(\underline{f_i - B_i}_{\color{blue}y} = \underline{C_j}_{\color{red}k} \cdot \underline{D_i}_{\color{purple}x} + \underline{f_j + A_j}_{\color{red}b}\) 的形式。
• 将决策点 \(j\) 视作二维平面上的一条斜率为 \(C_j\) 截距为 \(f_j + A_j\) 的直线，将转移视作一个横坐标值 \(D_i\)。现要求一个决策点所对应的直线 \(y = kx + b\) 使得其在 \(x_0\) 处的纵坐标最大。
• 使用李超线段树维护关于决策点所对应的直线。查询时在李超线段树上遍历，查找在 \(x_0\) 处的最大纵坐标。

wqs 二分

wqs 二分：常用于优化 \(2\)D \(/\) \(1\)D 的 dp，其中一个状态维是选取物品个数。设 \(f(i)\) 表示恰好（或最多、最少）选取 \(i\) 个物品时的答案，则 wqs 二分适用当且仅当 \(f\) 为凸函数。

以下讨论以 \(f\) 上凸为例。

二分直线的斜率 \(\mathrm{mid}\)，计算斜率为 \(\mathrm{mid}\) 的直线与上凸壳切在哪个点，比较切点的横坐标与目标选取物品个数的大小关系。

二分直线的斜率 \(\mathrm{mid}\) 可以看作是将选择物品附加了一个额外代价 \(\mathrm{mid}\)，故截距 \(f_x - \mathrm{mid} \cdot x\) 可以看作是统计了额外代价后得到的答案。当选取物品的额外代价 \(\mathrm{mid}\) 增大时，选取物品个数会减小；反之，选取物品个数会增加。

决策单调性优化 dp

决策点（\(1\)D / \(1\)D）：对于形如 \(f(i) \gets_{\min / \max} \{f(j) + w(j, i)\}\) 的 dp，若当 \(j = k'\) 时 \(f(i)\) 取到最值，则称 \(k'\) 是 \(f(i)\) 的决策点，记作 \(k(i)\)（多个决策点时，取最小决策点）。

决策单调性（\(1\)D / \(1\)D）：对于形如 \(f(i) \gets_{\min / \max} \{f(j) + w(j, i)\}\) 的 dp，若对于任意 \(i < i'\) 均有 \(k(i) \leq k(i')\)，则称该 dp 具有决策单调性。

决策点（\(2\)D / \(1\)D）：对于形如 \(f(i, j) \gets_{\min / \max} \{ f(k, j - 1) + w(k, i)\}\) 的 dp，若当 \(k = k'\) 时 \(f(i, j)\) 取到最值，则称 \(k'\) 是 \(f(i, j)\) 的决策点，记作 \(k(i, j)\)（多个决策点时，取最小决策点）。

决策单调性（\(2\)D / \(1\)D）：对于形如 \(f(i, j) \gets_{\min / \max} \{ f(k, j - 1) + w(k, i)\}\) 的 dp，若对于任意 \(i < i'\) 均有 \(k(i, j) \leq k(i', j)\)，则称该 dp 具有决策单调性。

四边形不等式（形式 1）：对于任意 \(i \leq j\)，均有

\[w(i, j) + w(i + 1, j + 1) \leq w(i + 1, j) + w(i, j + 1) \]

四边形不等式（形式 2）：对于任意 \(l' \leq l < r \leq r'\)，均有

\[w(l', r) + w(l, r') \leq w(l, r) + w(l', r') \]

决策单调性优化 dp：二分栈

二分栈：使用栈来维护数据，栈中的每一个元素保存一个决策的起始位置与终止位置，这些位置相互连接且依次递增。当插入一个新的决策时，从后往前扫描栈，对于每一个栈中的老决策

• 若在老决策的起始位置，新决策优于老决策，则转折点在老决策的起始位置之前。把老决策的区间合并到新决策中，将老决策退栈。
• 若在老决策的起始位置，老决策优于新决策，则转折点在老决策的起始位置到终止位置中。二分查找转折点，更新老决策的区间，将新决策入栈。

决策单调性优化 dp：分治

分治：对于形如 \(f(i) \gets_{\min / \max} \{g(j) + w(j, i)\}\) 的 dp，使用分治来维护数据。

• 设 \(\mathrm{solve}(l, r, L, R)\) 表示：已知 \(k(l), \cdots, k(r) \subseteq [L, R]\)，现在要求 \(f(l), \cdots, f(r)\)。
• 取分治重心 \(\mathrm{mid} = \left\lfloor \frac{l + r}{2} \right\rfloor\)，显然 \(k(\mathrm{mid}) \in [L, R]\)，枚举求出 \(k(\mathrm{mid})\)。
• 由于决策单调，则 \(k(l), \cdots , k(\mathrm{mid} - 1) \subseteq [L, k(\mathrm{mid})]\) 且 \(k(\mathrm{mid} + 1), \cdots, k(r) \subseteq [k(\mathrm{mid}), R]\)。调用 \(\mathrm{solve}(l, \mathrm{mid} - 1, L, k(\mathrm{mid}))\) 与 \(\mathrm{solve}(\mathrm{mid} + 1, r, k(\mathrm{mid}), R)\)，将问题变成两个规模更小的子问题。

CDQ 分治：特别地，若是形如 \(f(i) \gets_{\min / \max} \{f(j) + w(j, i)\}\) 的 dp，则需要使用 CDQ 分治。

动态 dp

矩阵描述转移：若一个状态可以由其前驱状态的线性组合得到，则可以用广义矩阵乘法描述转移方程。定义广义矩阵乘法为

\[C_{i, j} = \bigoplus_{k = 1}^n A_{i, k} \otimes B_{k, j} \]

其中 \(\bigotimes\) 有结合律，且 \(\bigotimes\) 对 \(\bigoplus\) 有分配律。可以证明此时的广义矩阵乘法有结合律。

动态 dp：一种使用数据结构维护转移矩阵的 dp。特别地，如果不带修，可以考虑用倍增维护。

动态 dp 的重链剖分实现：

• 对原树进行重链剖分，将 \(f_u\) 分成重儿子的贡献 \(f_{\mathrm{heavy}_u}\) 和轻儿子的贡献和 \(g_u\)。使用矩阵描述转移 \(F(u) = F(\mathrm{heavy}_u) \times G(u)\)，则 \(F(u)\) 为 \(F(\varnothing)\) 乘上 \(u\) 所在重链末端到点 \(u\) 的矩阵积，使用线段树维护。
• 一次对点 \(u\) 的修改，仅改变 \(\mathcal{O}(\log n)\) 个节点的 \(G\) 矩阵（一个点的 \(G\) 矩阵被修改，当且仅当其轻子树内的某个节点被修改）。不断地跳重链，并实时维护每条重链顶端节点 \(t\) 的父节点 \(\mathrm{Fa}_t\) 的 \(G_{\mathrm{Fa}_t}\) 矩阵。

动态 dp 的全局平衡二叉树实现：