【CF 1622F】Quadratic Set

CF1622F。

Description

给出一个集合 \(A = \{1, 2, ..., n\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq x \leq n\}\)。

你需要寻找一个非空集合 \(A' \subseteq A\)，使得 \(\prod_{k \in A'} k!\) 是一个完全平方数。
在此基础上，你需要最大化 \(|A'|\)，并以任意顺序给出集合 \(A'\) 中的所有数。

数据范围：\(1 \leq n \leq 10^6\)。
时空限制：\(4000 \ \mathrm{ms} / 256 \ \mathrm{MiB}\)。

Solution

结论

至少存在一个方案，使得集合 \(A\) 中不选的数的个数 \(\leq 3\)。

证明

假设现在给出任意一个正整数 \(k\)，考察下式：

\[\begin{aligned} \prod\limits_{i = 1}^{2k} i! & = \prod\limits_{i = 1}^k (2i - 1)! \cdot (2i)! \\ & = \prod\limits_{i = 1}^k \left((2i - 1)!\right)^2 \cdot 2i \\ & = \left( \prod\limits_{i = 1}^k (2i - 1)! \right)^2 \cdot 2^k \cdot k! \end{aligned} \]

• 对于 \(n \equiv 0 \pmod 4\)，可以取 \(A' = A \setminus \left\{ \frac{n}{2} \right\}\)。
• 对于 \(n \equiv 2 \pmod 4\)，可以取 \(A' = A \setminus \left\{2, \frac{n}{2}\right\}\)。
• 对于 \(n \equiv 1 \pmod 2\)，可以先不取 \(n\) 这个数，然后转换为上述两种情况之一。

Q.E.D.

---

现在有了很优秀的构造解，但注意到该解不一定是最优解，还要处理集合 \(A\) 中不选的数恰好为 \(0, 1, 2\) 时的解。

考虑完全平方数的本质：在唯一分解形式下，所有质因子的次数均为偶数。这时候就可以考虑使用 xor hashing。

定义完全异或性哈希函数 \(f(x)\)，一开始先给 \(1 \sim n\) 中的所有质数 \(p\) 的 \(f(p)\) 赋一个范围较大的随机数，其他的合数的 \(f(x)\) 定义为 \(x\) 所有质因子的 \(f\) 函数的异或和（多个相同质因子需要重复异或），特别地 \(f(1) = 0\)。在这样的定义下，\(x\) 为完全平方数当且仅当 \(f(x) = 0\)。

\(1 \sim n\) 中的 \(f\) 函数值显然可以线性筛筛出来，由于其完全异或性，可以递推出 \(f(i!)\) 的值。

记 \(P = f(1!) \bigoplus f(2!) \bigoplus \cdots \bigoplus f(n!)\)。

• 对于所有都选的情况，判断 \(P\) 是否为 \(0\) 即可。

• 对于不选 \(1\) 个数的情况，相当于判断是否存在一个 \(i\) 使得 \(P \bigoplus f(i!) = 0\)，枚举即可。

• 对于不选 \(2\) 个数的情况，相当于判断是否存在一对 \(i,j\) 使得 \(P \bigoplus f(i!) \bigoplus f(j!) = 0\)，可以先将所有 \(f(j!)\) 的值存入一个哈希表或 std::map，再在这个容器中查找 \(P \bigoplus f(i!)\) 即可。

实现的较好可以做到 \(\mathcal{O}(n)\)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <random>
#include <unordered_map>

typedef long long s64;

const int N = 1e6 + 10;
const s64 L = 1152921504606846976LL;

int n;

int k, prime[N], fac[N];
s64 f[N], S[N];

std::mt19937_64 rnd(time(0));
std::uniform_int_distribution<long long> dist(0, L - 1);

void sieve(int N) {
	f[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= N; i ++) {
		if (!fac[i]) fac[i] = i, prime[++ k] = i, f[i] = dist(rnd);
		for (int j = 1; j <= k; j ++) {
			if (prime[j] > fac[i] || prime[j] > N / i) break;
			fac[i * prime[j]] = prime[j];
			f[i * prime[j]] = f[i] ^ f[prime[j]];
		}
	}

	for (int i = 1; i <= N; i ++)
		S[i] = S[i - 1] ^ f[i];
}

std::unordered_map<s64, int> List;

int cnt;
bool mark[N];

void output() {
	printf("%d\n", cnt);
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (mark[i]) continue;
		printf("%d ", i);
	}
}

int main() {
	freopen("square.in", "r", stdin);
	freopen("square.out", "w", stdout);

	scanf("%d", &n);
	sieve(n);

	s64 P = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) P ^= S[i];

	if (P == 0) {
		cnt = n, output();
		return 0;
	}

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		if ((P ^ S[i]) == 0) {
			cnt = n - 1, mark[i] = 1, output();
			return 0;
		}

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		List[S[i]] = i;

	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		if (List.count(P ^ S[i])) {
			int j = List[P ^ S[i]];
			cnt = n - 2, mark[i] = 1, mark[j] = 1, output();
			return 0;
		}

	cnt = n - 3, mark[2] = 1, mark[(n - 1) / 2] = 1, mark[n] = 1, output();

	return 0;
}