BZOJ3328: PYXFIB(单位根反演?)

传送门

Sol

设

\[A=\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \]

那么要求的相当于是

\[\sum_{i=0}^{n}[k|i]\binom{n}{i}A^i \]

求出其中的 \(A_{0,0}\) 即可

引入单位根(单位根反演?)

\[[n \mid k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \omega_{n}^{ik} \]

证明：
若 \(n|k\)，那么根据单位根的消去引理可以得到就是 \(1\)
否则，等比数列求和，发现分子为 \(0\)

所以带入单位根

\[\sum_{i=0}^{n}[k|i]\binom{n}{i}A^i=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}A^i\sum_{j=0}^{k-1}w_k^{ij}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}A^jw_k^{ij} \]

由二项式定理得到

\[\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}(Aw_k^i+I)^n \]

\(I\) 为单位矩阵
这道题 \(k=p-1\)
所以直接求出 \(p\) 的原根 \(g\)，令 \(w_k^i=g^{\frac{p-1}{k}i}\) 即可
只要矩乘+快速幂就好了

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int k, test, mod, g, pr[233333], cnt;
ll n;

struct Matrix {
	ll a[2][2];

	inline Matrix() {
		a[0][0] = a[0][1] = a[1][0] = a[1][1] = 0;
	}

	inline Matrix operator *(Matrix b) const {
		register Matrix c;
		c.a[0][0] = (a[0][0] * b.a[0][0] + a[0][1] * b.a[1][0]) % mod;
		c.a[0][1] = (a[0][0] * b.a[0][1] + a[0][1] * b.a[1][1]) % mod;
		c.a[1][0] = (a[1][0] * b.a[0][0] + a[1][1] * b.a[1][0]) % mod;
		c.a[1][1] = (a[1][1] * b.a[1][1] + a[1][0] * b.a[0][1]) % mod;
		return c;
	}

	inline Matrix operator +(Matrix b) const {
		register Matrix c;
		c.a[0][0] = a[0][0] + b.a[0][0] >= mod ? a[0][0] + b.a[0][0] - mod : a[0][0] + b.a[0][0];
		c.a[0][1] = a[0][1] + b.a[0][1] >= mod ? a[0][1] + b.a[0][1] - mod : a[0][1] + b.a[0][1];
		c.a[1][0] = a[1][0] + b.a[1][0] >= mod ? a[1][0] + b.a[1][0] - mod : a[1][0] + b.a[1][0];
		c.a[1][1] = a[1][1] + b.a[1][1] >= mod ? a[1][1] + b.a[1][1] - mod : a[1][1] + b.a[1][1];
		return c;
	}

	inline Matrix operator *(int b) const {
		register Matrix c;
		c.a[0][0] = a[0][0] * b % mod, c.a[0][1] = a[0][1] * b % mod;
		c.a[1][0] = a[1][0] * b % mod, c.a[1][1] = a[1][1] * b % mod;
		return c;
	}
} ANS, I, A;

inline int Pow(ll x, int y) {
	register ll ret = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
		if (y & 1) ret = ret * x % mod;
	return ret;
}

inline void Getroot() {
	register int i, phi = mod - 1, x = phi, j;
	for (cnt = 0, i = 2; i * i <= x; ++i)
		if (x % i == 0) {
			pr[++cnt] = i;
			while (x % i == 0) x /= i;
		}
	if (x > 1) pr[++cnt] = x;
	for (i = 2; i <= phi; ++i) {
		for (x = 0, j = 1; !x && j <= cnt; ++j)
			if (Pow(i, phi / pr[j]) == 1) x = 1;
		if (x) continue;
		g = i;
		return;
	}
}

inline Matrix MatrixPow(Matrix X, ll y) {
	register Matrix RET = I;
	for (; y; y >>= 1, X = X * X)
		if (y & 1) RET = RET * X;
	return RET;
}

int main() {
	register int i, w, wn;
	I.a[0][0] = I.a[1][1] = A.a[0][0] = A.a[0][1] = A.a[1][0] = 1;
	scanf("%d", &test);
	while (test) {
		scanf("%lld%d%d", &n, &k, &mod), --test;
		ANS = Matrix(), Getroot(), wn = 1, w = Pow(g, (mod - 1) / k);
		for (i = 0; i < k; ++i) ANS = ANS + MatrixPow(A * wn + I, n), wn = (ll)wn * w % mod;
		ANS = ANS * Pow(k, mod - 2);
		printf("%lld\n", ANS.a[0][0]);
	}
    return 0;
}