关于树套树的 权值树状数组套vector 实现

Warning:本篇分享只是一个 较复杂方法 的 简单写法,不进行系统的讲解。

前置知识:

  • AcWing 242. 一个简单的整数问题
  • AcWing 244. 谜一样的牛(树状数组上倍增 解法,蓝书里有讲)
  • 会写 权值树状数组。
  • 会用 vector 水平衡树。(其实就是 insert(),erase() 常数小)
  • 会写 权值线段树套下标平衡树。(蓝书也有)

vector 实现的平衡树

namespace Vtree
{
	void print(vector<int>& v)
	{
		for(int i=0;i<(int)v.size();i++) 	
			printf("%d ",v[i]);
		printf("\n");
	}
	void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); }
	void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); }
	int count(vector<int>& v,int l,int r)
	{
//		printf("count(%d ,%d) : ",l,r);
//		print(v);
		return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l);
	}	

}

权值线段树套下标平衡树解法:

先咕咕咕了。
...
然后你可能就会想,为什么不把 权值线段树 换成 树状数组 , 把平衡树换成 vector 呢?

  • 首先 vector 可以实现平衡树(本题需要的)所有操作。

    • 插入
    • 删除
    • 查区间元素个数
  • 线段树的 查 rank = 树状数组 前缀和.

  • 线段树的 线段树上二分找 kth = 树状数组倍增找 kth.

权值树状数组套vector 解法

可能配一张图会有助于理解
b720737e6735c96e30b9e2dc52dd3820.png

图片来自 https://blog.csdn.net/flushhip/article/details/79165701 侵删。

\(v[i]\) 存的是 \(a[i] \in [i-lowbit(i)+1,i]\)\(i\) ,即下标。

insert

void insert(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key)) 
		Vtree::ins(v[key],pos);
}

根据定义,在对应的 vector 里加入相应的数。

erase

void erase(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key))
		Vtree::del(v[key],pos);
}

删除操作。

Rank

Rank(x,l,r) 是找 下标在 \([l,r]\) 中有多少个数的 \(a[i] \leq x\)
对应在树状数组中就是 以 count(v[i],l,r)i 的值,求一遍前缀和即可。

int Rank(int x,int l,int r)
{
	int res=0;
	for(;x>=1;x-=lowbit(x)) 
		res+=Vtree::count(v[x],l,r);
	return res;
}

findkth

findkth(k,l,r) 是找 下标在 \([l,r]\) 中第 k 大的数。
树状数组上倍增即可。

int findkth(int k,int l,int r)
{
	static const int lgn=log2(num);
	int key=0,sum=0;
	for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
		y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
		if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num) sum+=y,key+=(1<<i);
	}
	return key+1;
}

这里有两点要注意

  1. 先跳到目标位置的前一个位置,否则可能会多跳目标位置后的空白段。
  2. 特判越界的情况。

找 前驱后继 可以用以上两个操作实现,
于是就写完了。

namespace Vtree
{
	void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); }
	void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); }
	int count(vector<int>& v,int l,int r)
	{
		return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l);
	}	
}

inline int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void insert(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key)) 
		Vtree::ins(v[key],pos);		
}
void erase(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key))
		Vtree::del(v[key],pos);
}
int Rank(int x,int l,int r)
{
	int res=0;
	for(;x>=1;x-=lowbit(x)) 
		res+=Vtree::count(v[x],l,r);
	return res;
}
int findkth(int k,int l,int r)
{
	static const int lgn=log2(num);
	int key=0,sum=0;
	for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
		y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
		if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num) 
			sum+=y,key+=(1<<i);
	}
	return key+1;
}

AcWing 2476. 树套树
Code:

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

namespace Vtree
{
	void print(vector<int>& v)
	{
		for(int i=0;i<(int)v.size();i++) 	
			printf("%d ",v[i]);
		printf("\n");
	}
	void ins(vector<int>& v,int x) { v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x); }
	void del(vector<int>& v,int x) { v.erase(lower_bound(v.begin(),v.end(),x)); }
	int count(vector<int>& v,int l,int r)
	{
//		printf("count(%d ,%d) : ",l,r);
//		print(v);
		return upper_bound(v.begin(),v.end(),r)-lower_bound(v.begin(),v.end(),l);
	}	

}

const int N=1e5+5;

int num;
vector<int> v[N];

inline int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void insert(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key)) {
//		printf("insert in v[%d], pos = %d\n",key,pos);
		Vtree::ins(v[key],pos);
	}
}
void erase(int pos,int key)
{
	for(;key<=num;key+=lowbit(key))
		Vtree::del(v[key],pos);
}
int Rank(int x,int l,int r)
{
//	printf("Rank val %d in (%d , %d) = ",x,l,r);
	int res=0;
	for(;x>=1;x-=lowbit(x)) 
		res+=Vtree::count(v[x],l,r);
//	printf("%d\n",res);
	return res;
}
int findkth(int k,int l,int r)
{
	static const int lgn=log2(num);
	int key=0,sum=0;
	for(int i=lgn,y;i>=0;i--) {
	//	printf("count in v[%d], (%d ,%d)\n",key+(1<<i),l,r);
		y=Vtree::count(v[key+(1<<i)],l,r);
		if(sum+y<k && key+(1<<i)<=num) {
			sum+=y,key+=(1<<i);
	//		printf("Accept %d , now key is %d and sum is %d\n",y,key,sum);
		}
	}
	return key+1;
}

vector<int> nums;
inline int getnw(int x)
{
	return upper_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();	
} 

struct Query
{
	int opt,x,y,z;
}q[N];

int n,m;
int a[N];

int main()
{
//	freopen("1.in","r",stdin);
	int i;
	int opt,x,y,z;
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);
		nums.push_back(a[i]);
	}
	for(i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&q[i].opt,&q[i].x,&q[i].y);
		if(q[i].opt^3) scanf("%d",&q[i].z);
		if(q[i].opt^2) {
			if(q[i].opt^3) nums.push_back(q[i].z);
			else nums.push_back(q[i].y);
		}
	}
	sort(nums.begin(),nums.end());
	nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());
	num=nums.size()+1;
	for(i=1;i<=n;i++) 
		insert(i,a[i]=getnw(a[i]));
	for(i=1;i<=m;i++) {
		if(q[i].opt^2) {
			if(q[i].opt^3) q[i].z=getnw(q[i].z);
			else q[i].y=getnw(q[i].y);
		}
	}
		
	for(i=1;i<=m;i++) {
		opt=q[i].opt; x=q[i].x; y=q[i].y; z=q[i].z;
		
		if(opt==1) printf("%d\n",Rank(z-1,x,y)+1);
		else if(opt==2) printf("%d\n",nums[findkth(z,x,y)-1]);
		else if(opt==3) erase(x,a[x]),insert(x,a[x]=y);
		else if(opt==4) {
			int t=Rank(z-1,x,y);
			if(t==0) puts("-2147483647");
			else printf("%d\n",nums[findkth(t,x,y)-1]);
		}
		else {
			int t=Rank(z,x,y);
			if(t==y-x+1) puts("2147483647");
			else printf("%d\n",nums[findkth(t+1,x,y)-1]);
		}
	}
	return 0;
}

性能分析:
由于使用了vector当平衡树,时间复杂度不好分析,
空间复杂度是 \(O(nlogn)\)
这种解法在洛谷的树套树中,是最优解第一面中代码最短的。可以说,在分块遍地开花的世界中独树一帜了。

进步性:代码短、快,便于调试。
局限性:树状数组的空间受限于值域,如果强制在线,并且值域很大的话,就不能用这种方法来维护了。

posted @ 2021-01-09 15:17  cjlworld  阅读(196)  评论(0编辑  收藏  举报