《大话数据结构》第2章 算法基础 2.8 函数的渐近增长

2.8 函数的渐近增长

        我们现在来判断一下,两个算法A和B哪个更好。假设两个算法的输入规模都是n,算法A要做2n + 3次操作,你可以理解为先有一个n次的循环,执行完成后,再有一个n次循环,最后有三次赋值或运算,共2n + 3次操作。算法B要做3n + 1次操作。你觉得它们谁更快呢?
        准确说来,答案是不一定的(如表2-8-1所示)。

        当n = 1时,算法A效率不如算法B(次数比算法B要多一次)。而当n = 2时,两者效率相同;当n > 2时,算法A就开始优于算法B了,随着n的增加,算法A要越来越好过算法B了(执行的次数比B要少)。于是我们可以得出结论,算法A总体上要好过算法B。
        此时我们给出这样的定义,输入规模n在没有限制的情况下,只要超过一个数值N,这个函数就总是大于另一个函数。我们称函数是渐近增长的。

        函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n > N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

        从中我们发现,随着n的增大,后面的 +3还是 +1其实是不影响最终的算法变化的,例如算法A’与算法B’。所以,我们可以忽略这些加法常数。后面的例子,这样的常数被忽略的意义可能会更加明显。
        我们来看第二个例子。算法C是4n + 8,算法D是2n2 + 1(如表2-8-2所示)。

        当n < = 3的时候,算法C要差于算法D(因为算法C次数比较多),但当n > 3后,算法C的优势就越来越优于算法D了,到后来更是远远胜过。而当后面的常数去掉后,我们发现其实结果没有发生改变。甚至我们再观察发现,哪怕去掉与n相乘的常数,这样的结果也没发生改变,算法C’ 的次数随着n的增长,还是远小于算法D’。也就是说,与最高次项相乘的常数并不重要。
        我们再来看第三个例子。算法E是2n2 + 3n + 1,算法F是2n3 + 3n + 1(如表2-8-3所示)。

        当n = 1的时候,算法E与算法F结果相同,但当n > 1后,算法E的优势就要开始优于算法F,随着n的增大,差异非常明显。通过观察发现,最高次项的指数大的,函数随着n的增长,结果也会变得增长特别快。
        我们来看最后一个例子。算法G是2n2,算法H是3n + 1,算法I是2n2 + 3n + 1(如表2-8-4所示)。

        这组数据应该就看得很清楚。当n的值越来越大时,你会发现,3n+1已经没法和2n2的结果相比较,最终几乎可以忽略不计。也就是说,随着n值变得非常大以后,算法G其实已经很趋近于算法I。于是我们可以得到这样一个结论,判断一个算法的效率时,函数中的常数和其他次要项常常可以忽略,而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。
        判断一个算法好不好,我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的。根据刚才的几个样例,我们发现,如果我们可以对比这几个算法的关键执行次数函数的渐近增长性,基本就可以分析出,某个算法,随着n的增大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据,通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

posted on 2011-03-05 15:24  伍迷  阅读(6631)  评论(18编辑  收藏  举报

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