[题解] P8816 [CSP-J 2022] 上升点列

题目知识点

动态规划（DP）

题意说明

当 \(k = 0\) 且 \(x_i\)，\(y_i\) 值域不大时，这题其实是一个十分简单的 DP，就类似于数字三角形。直接记 \(dp(x, y)\) 为 「以 \((x, y)\) 为终点，最长合法序列的长度」。则对于所有（已经存在的）整点，有：

\[dp(x, y) = max\{ dp(x - 1), y),dp(x, y - 1) \} + 1 \]

但是我们可以发现，当 \(x_i\)，\(y_i\) 值域比较大时就不行了，所以我们需要进行优化，可以考虑记 \(dp(n)\) 表示 「以 \(n\) 号点结尾的合法序列，最长能有多长」。则可以表示为：

\[dp(n) = max_{i \rightarrow n} \{dp(i) + 1\} \]

不会存在环状结构（因为合法序列必须向右、上方发展），所以把刚刚的 DP 改造一下，就是本题的正解了：记 \(dp(n)\) 表示 「以 \(n\) 号点结尾，已经使用掉了 \(k\) 个自由点，获得的收益」。可以表示为：

\[dp(n, k) = max_{i \rightarrow n} \{dp(i, k - cost) + cost + 1\} \]

实现细节

本题的求值顺序值得注意，合法路径可能形如 \(P_1 \rightarrow P_2 \rightarrow P_3\) 。

有两种解决方法：

• 记忆化搜索（记忆化搜索最擅长解决求值顺序混乱的DP）。
• 预先按 \(x\)，\(y\) 排序，使得编号大的点一定是从编号小的点转移过来。

代码

// P8816 [CSP-J 2022] 上升点列
// code by:cq_irritater
// time:2024/01/20
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 510, maxn = 110;

int n, k;
int tx, ty, ans;
int x[MAXN], y[MAXN];
int dp[MAXN][maxn];

vector<pair<int, int>> v;

int dis(int a, int b)
{ // a -> b 的距离
    if (x[a] > x[b])
    {
        return 23333333;
    }
    if (y[a] > y[b])
    {
        return 23333333;
    }
    return x[b] - x[a] + y[b] - y[a] - 1;
}

void dp_forward(int p, int c)
{ // 以 p 为终止点，目前已经使用了 c 个自由点
    // dp[p][c] -> dp[t][c+dis(p, t)] where t 可转移
    if (dp[p][c] == -1)
    { // 不可达状态
        return;
    }
    for (int t = p + 1; t <= n; t++)
    {
        int dis_pt = dis(p, t);
        if (c + dis_pt <= k)
        {
            dp[t][c + dis_pt] = max(dp[t][c + dis_pt], dp[p][c] + dis_pt + 1);
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    // freopen("code.in", "r", stdin);
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d %d", &tx, &ty);
        v.push_back(make_pair(tx, ty));
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        x[i + 1] = v[i].first;
        y[i + 1] = v[i].second;
    }
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int p = 1; p <= n; p++)
    {
        for (int c = 0; c <= k; c++)
        {
            dp_forward(p, c);
        }
    }
    for (int p = 1; p <= n; p++)
    {
        for (int c = 0; c <= k; c++)
        {
            if (dp[p][c] != -1)
            {
                ans = max(ans, dp[p][c] + k - c);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}