[题解] P8684 [蓝桥杯 2019 省 B] 灵能传输

本题涉及到了 \(3\) 种算法，我们一一进行分析：前缀和，排序以及贪心。

前缀和

本题实际上要求通过某种灵能传输可以使得该序列的最大值最小。而由前缀和可知，当某一个前缀和序列保持有序（或前缀和序列表示的函数单调）时，其 \(s[i] - s[i - 1]\) 的最大值可以达到最小。

通过对几个样例的观察我们不难发现：

• 当 \(a[i] > 0\) 时，若 \(a[i - 1] \gets a[i - 1] + a[i]\)，则 \(s[i - 1]\) 等于原来的 \(s[i]\)。
• 若 \(a[i] \gets a[i] - 2 \times a[i]\)，则原 \(s[i - 1] \gets s[i - 1] + a[i]\)。
• 现 $s[i] \gets $ 现 $s[i - 1] - a[i] \gets $ 原 \(s[i] - a[i] \gets\) 原 \(s[i - 1]\)。

这意味着除了 \(s[0]\) 和 \(s[n]\) 以外，\(1 \sim n\) 的任何 \(s[i]\) 都可以进行互相交换，从而得到一个有序序列。

而 \(a[i] \gets s[i] - s[i - 1]\) 也就意味着可以通过交换 \(s[i]\) 的方式得到灵能传输后的最终结果。

排序

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    scanf("%d", &a[i], s[i] = s[i - 1] + a[i]);
}
sort(s + 1, s + 1 + n);

当然，如果 \(s[0]\) 和 \(s[n]\) 也可以正常交换，则只需要将整个前缀和序列进行排序，即可直接得到一个单调函数，那么本题的推导到这一步就可以结束了，可以通过直接计算 \(\max(s[i] - s[i - 1])\) 的值获得最大值和最小值。

但问题就在于 \(s[0]\) 和 \(s[n]\)，即最终得到的序列不一定是单调的，所以接下来就要通过一系列操作解决序列不单调的问题。

贪心

通过上述的分析可以得知，想要求出本题的最优解就是使得所求序列尽可能保持单调。

在两个端点无法移动的条件下，对于整个前缀和序列进行排序时，总能得到一个拥有两个拐点且中间部分保持单调的函数。

此时就应该往贪心上思考，即当一条有两个拐点的曲线的重叠部分最小时单调部分最多，而一条曲线符合下列情况时符合要求。

① 左端点小于右端点，即 \(s[0] < s[n]\)。

在记录 \(s_0\) 和 \(s_n\) 的值时需要进行一次判定，如果得到的左端点比右端点大，那么就将这两个端点交换（尽量保证得到的函数是一个中部递增的单调函数，其目的是将得到的所有函数都变成中部递增函数，这样就可以少算至少一半的数据）。

if (s0 > sn)
{
    swap(s0, sn);
}

② 极小值在极大值左边（刚刚的情况中，要求得到的函数一定是中部递增的，因此不仅需要控制函数中部的递增，还要控制最大值和最小值以使得中部函数递增）。

这就要求在后续选点时应遵循 \(s[0]\) 向左取，\(s[n]\) 向右取，因为这样才能取得两边的极值。

因为已经将两个端点确定并保证了两者的顺序，也对前缀和序列进行了升序处理，于是此时得到了一个存放着递增的前缀和序列的有序数组（左右端点的位置已经发生改变，情况 ① 中已经记录了两者位置）。

接下来需要从左端点的位置向左依次取点，从右端点的位置向右依次取点（从左端点向左依次取点并取得前缀和序列的最小值，从右端点向右依次取点并取得前缀和序列的最大值）。

此时可以求得函数为两个端点有拐点且中部有序递增的函数。

int l = 0, r = n - 1;
for (int i = s0; i >= n; i -= 2)
{
    f[l++] = s[i];
    st[i] = true;
}
for (int i = sn; i <= n; i += 2)
{
    f[r--] = s[i];
    st[i] = true;
}
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
    if (st[i] == false)
    {
        f[l++] = s[i];
    }
}

因为图像中会有两个拐点而且会形成两个重叠部分，所以想要得到最优解，就要使得求得的函数图像中的递增部分尽可能地多，这样拐点处的图像就会尽可能地少，即可保证序列 \(f\) 为重叠部分最小的前缀和序列。

在通过特定规则将所有点都遍历完毕后，此时已经得到最优解的图像（前缀和序列）。

最后就是求出所有前缀和表示的灵能值中的最大者（一定为正），该灵能值便是最终答案。

int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    res = max(res, abs(f[i] - f[i - 1]));
}

最终 \(res\) 为所求结果。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3e5 + 10;

typedef long long ll;

int t;

ll a[N], s[N], f[N];

bool st[N];

void work()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    s[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    ll s0 = s[0];
    ll sn = s[n];
    if (s0 > sn)
    {
        swap(s0, sn);
    }
    sort(s, s + 1 + n);
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        if (s0 == s[i])
        {
            s0 = i;
            break;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        if (sn == s[i])
        {
            sn = i;
            break;
        }
    }
    memset(st, false, sizeof st);
    int l = 0, r = n;
    for (int i = s0; i >= 0; i -= 2)
    {
        f[l++] = s[i];
        st[i] = true;
    }
    for (int i = sn; i <= n; i += 2)
    {
        f[r--] = s[i];
        st[i] = true;
    }
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        if (st[i] == false)
        {
            f[l++] = s[i];
        }
    }
    ll res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res = max(res, abs(f[i] - f[i - 1]));
    }
    printf("%lld\n", res);
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        work();
    }
    return 0;
}