Codeforces 343D Water Tree ＆ 树链剖分教程
题目大意
给定一棵根为１，初始时所有节点值为０的树，进行以下三个操作：
*将以某点为根的子树节点值都变为１
*将某个节点及其祖先的值都变为０
*询问某个节点的值
解题思路
这是一道裸的树链剖分题。下面详细地介绍一下树链剖分。
树链剖分预备知识：
线段树、DFS序
树链剖分想法｜起源
首先，如果一棵树退化成一条链，那么它会有非常好的性质。我们可以用线段树等数据结构来维护相关操作，使得效率更高。那么我们考虑一般的树，它是否能被分成一些链，使它们也能更高效地进行某些操作？
算法流程
以下以点带权的树为例，介绍最为常用的轻重边剖分。
我们令当前点到它儿子中size最大的点的边为重边，其余为轻边。
由此定义，我们可以得到以下结论：
*若u（父）到v（子）的边为轻边，则size(u) >= 2 * size(v)【1】（结论平凡）
*从根节点到某叶节点的轻边数不超多log(n)【2】（由上条结论易得）
接下来，我们定义由重边组成的链叫重链。那么重链又有以下几条性质：
*根节点到某叶节点的重链数不超过log(n)【3】（由于重链的头或尾都是轻边）
*任何一个节点在且仅在一条重链上【4】
那么我们对树作修改的时候只需要对重链上的点作修改（由性质【4】）。那么我们可以尝试将原树拉成一条链，同时使得重链上的点在拉成后的链上连续。
我们可以用两遍dfs来实现这个操作。第一步，我们求出每个点的父亲信息(father)，深度信息(depth)，子树大小(size)和重儿子(son)(这么叫应该可以)。第二遍求出每个点的所在重链的顶部节点(top)，当前点在线段树上位置(seg)，同时求出线段树上点对应的点的编号(rev)。
代码实现（其中用数组模拟链表保存原树信息）：
int father[MAXN], dep[MAXN], size[MAXN], son[MAXN], top[MAXN], seg[MAXN], rev[MAXN];
int used_space = 0;
void first_dfs(int fa, int pos){
father[pos] = fa;
dep[pos] = dep[fa] + 1;
size[pos] = 1;
for(int t = f[pos]; t; t = nex[t]){
if(lin[t] == fa) continue;
first_dfs(pos, lin[t]);
size[pos] += size[lin[t]];
if(size[lin[t]] > size[son[pos]]) son[pos] = lin[t];//选取size最大的为重儿子
}
return;
}
void second_dfs(int fa, int pos){
if(size[pos] > 1){//为了使重链在线段树上连续，所以先访问重儿子
++used_space;
seg[son[pos]] = used_space;
top[son[pos]] = top[pos];
rev[used_space] = son[pos];
second_dfs(pos, son[pos]);
}
for(int t = f[pos]; t; t = nex[t])
if(lin[t] != fa && lin[t] != son[pos]){
++used_space;
seg[lin[t]] = used_space;
top[lin[t]] = lin[t];
rev[used_space] = lin[t];
second_dfs(pos, lin[t]);
}
return;
}
//主程序调用
first_dfs(1, 1);
top[1] = 1; seg[1] = 1; rev[1] = 1; used_space++;
second_dfs(1, 1);
接下来考虑查询/修改操作。
第一类是在某两点之间的路径上操作。设这两点为x,y，则此问题实则考虑x->lca(x,y)->y。
若top[x] != top[y]， 那么它们不在同一条链上。此时我们不如假设top[x]的深度较深，那么top[x]一定不为lca(x,y)。那么我们可以让x跳到father[top[x]]，同时在线段树中处理seg[top[x]]->seg[x]这段区间。不断这样地操作，直到top[x]==top[y]。现在，x, y就在同一条链上了。不妨还是设x的深度较深，那么我们只需在线段树中seg[y]->seg[x]这段区间。
代码实现（以最大值询问为例）：
int ask_maxnum(int x, int y){
int fx = top[x], fy = top[y], ans = -INF;
while(fx != fy){
if(dep[fx] < dep[fy]){
swap(x, y);
swap(fx, fy);
}
ans = max(ans, segask_maxnum(seg[fx], seg[x], 1, 1, used_space));
x = father[fx]; fx = top[x];
}
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
ans = max(ans, segask_maxnum(seg[y], seg[x], 1, 1, used_space));
return ans;
}
还有一类是对某子树的操作。
我们由dfs序可知，以x为根的子树在线段树上为seg[x]->seg[x]+size[x]-1这一段区间。代码实现较为简单，这里就不详细贴出。
还有单点的修改与查询就不用多说了吧：）
建议习题
模板题：洛谷P3384
题目CF343D代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
using namespace std;
const int MAXN = 500010;
int n, m, x, y, X, Y, tag;
int lp = 0, f[MAXN], lin[MAXN << 1], nex[MAXN << 1];
void add(int x, int y){ lin[++lp] = y; nex[lp] = f[x]; f[x] = lp; return; }
int father[MAXN], deep[MAXN], son[MAXN], size[MAXN], top[MAXN], seg[MAXN], rev[MAXN];
int used = 0, tree[MAXN << 3]; //0 : all empty; 1 : all filled; 2 : unknow;
int get_int(){
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
int t = 0;
while(ch >= '0' && ch <= '9'){
t = t * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return t;
}
void dfs1(int fa, int pos){
father[pos] = fa;
deep[pos] = deep[fa] + 1;
size[pos] = 1;
for(int t = f[pos]; t; t = nex[t])
if(lin[t] != fa){
dfs1(pos, lin[t]);
size[pos] += size[lin[t]];
if(size[lin[t]] > size[son[pos]]) son[pos] = lin[t];
}
return;
}
void give_(int x){
used++;
seg[x] = used;
rev[used] = x;
return;
}
void dfs2(int fa, int pos){
if(size[pos] > 1){
top[son[pos]] = top[pos];
give_(son[pos]);
dfs2(pos, son[pos]);
}
for(int t = f[pos]; t; t = nex[t])
if(lin[t] != fa && lin[t] != son[pos]){
top[lin[t]] = lin[t];
give_(lin[t]);
dfs2(pos, lin[t]);
}
return;
}
void tag_down(int pos, int l, int r){
if(l == r) return;
if(tree[pos] == 2) return;
tree[pos << 1] = tree[pos];
tree[(pos << 1) + 1] = tree[pos];
return;
}
void seg_set(int pos, int l, int r){
if(X <= l && r <= Y){
tree[pos] = tag;
return;
}
if(tree[pos] != 2) tag_down(pos, l, r);
if((tree[pos] != 2) && (tag != tree[pos])) tree[pos] = 2;
if(X <= mid) seg_set(pos << 1, l, mid);
if(Y > mid) seg_set((pos << 1) + 1, mid + 1, r);
return;
}
int seg_ask(int pos, int l, int r){
if(tree[pos] != 2) return tree[pos];
if(X <= mid) return seg_ask(pos << 1, l, mid);
if(X > mid) return seg_ask((pos << 1) + 1, mid + 1, r);
return -1;
}
void fill(int x){
X = seg[x]; Y = X + size[x] - 1; tag = 1;
seg_set(1, 1, used);
return;
}
void empty(int x){
int fx;
while(x){
fx = top[x];
X = seg[fx]; Y = seg[x]; tag = 0;
seg_set(1, 1, used);
x = father[fx];
}
return;
}
int ask(int x){
X = seg[x];
return seg_ask(1, 1, used);
}
int main(){
n = get_int();
for(int i = 1; i < n; i++){
x = get_int(); y = get_int();
add(x, y); add(y, x);
}
dfs1(0, 1); //get first four values
give_(1); top[1] = 1;
dfs2(0, 1);
m = get_int();
for(int i = 1; i <= m; i++){
x = get_int(); y = get_int();
if(x == 1) fill(y); else
if(x == 2) empty(y); else
printf("%d\n", ask(y));
}
return 0;
}
