「CQOI2014」数三角形

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问题分析

可以先任意选\(3\)个数,然后减去三点共线的部分。

三点共线又分\(2\)种情况:

  • 横的或者竖的。这一部分方案数是\(n\times{m\choose 3}+m\times {n\choose3}\)
  • 斜的。不妨设线段一个端点在\((1,1)\),另一个端点在\((i,j)\)\(i,j>1\)。那么线段上的点总共有\(\gcd(i,j)+1\)个点。所以一条这样的线段的贡献是\(\gcd(i,j)-1\)。然后这样的线段共有\((n-i+1)\times(m-j+1)\)条,然后由于对称还要乘以二。

参考程序

#include <cstdio>
long long C3( long long n ) {
    return n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) / 6;
}
long long gcd( long long a, long long b ) {
    long long m = a % b;
    while( m ) {
        a = b; b = m; m = a % b;
    }
    return b;
}
int main() {
    long long n, m;
    scanf( "%lld%lld", &n, &m ); ++n, ++m;
    long long Ans = C3( n * m );
    Ans -= n * C3( m ) + m * C3( n );
    for( long long i = 2; i <= n; ++i )
        for( long long j = 2; j <= m; ++j ) {
            long long t = gcd( i - 1, j - 1 ) + 1;
            if( t >= 3 )  
                Ans -= ( n - i + 1 ) * ( m - j + 1 ) * ( t - 2 ) * 2;
        }
    printf( "%lld\n", Ans );
    return 0;
}
posted @ 2019-09-04 10:34 chy_2003 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏