BSGS学习记录/POJ 3696 The Luckiest number
BSGS
BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。形式化地说，该算法可以在 \(O(\sqrt{p})\) 的时间内求解
其中 \(a\perp p\)。方程的解 \(x\) 满足 \(0 \le x < p\)。（在这里需要注意，只要 \(a\perp p\) 就行了，不要求 \(p\) 是素数）
算法描述
令 \(x = A \left \lceil \sqrt p \right \rceil - B\)，其中 \(0\le A,B \le \left \lceil \sqrt p \right \rceil\)，则有 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil -B} \equiv b \pmod p\)，稍加变换，则有 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil} \equiv ba^B \pmod p\)。
我们已知的是 \(a,b\)，所以我们可以先算出等式右边的 \(ba^B\) 的所有取值，枚举 \(B\)，用 hash/map 存下来，然后逐一计算 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil}\)，枚举 \(A\)，寻找是否有与之相等的 \(ba^B\)，从而我们可以得到所有的 \(x\)，\(x=A \left \lceil \sqrt p \right \rceil - B\)。
注意到 \(A,B\) 均小于 \(\left \lceil \sqrt p \right \rceil\)，所以时间复杂度为 \(\Theta\left (\sqrt p\right )\)，用 map 则多一个 \(\log\)。
上述介绍在CC BY-SA 4.0 和 SATA条款下，转自OIWIKI
P3846 [TJOI2007] 可爱的质数
模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
unordered_map<ll,ll> mp;
int main(){
ll p,a,b;
scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b);
ll sqp=ceil(sqrt(p));//square root of p
ll rs=b,ap=1,ls=1;//rs/ls: right/left side
//ap: sqp-th power of a
for(int i=1;i<=sqp;++i){
rs=(rs*a)%p;
ap=(ap*a)%p;
mp[rs]=i;
}
for(int i=1;i<=sqp;++i){
ls=(ls*ap)%p;// ls=a^{i*\sqrt{p}}
if(mp[ls]){
printf("%lld\n",((i*sqp-mp[ls])%p+p)%p);
return 0;
}
}
puts("no solution");
return 0;
}
POJ The Luckiest number
求 \(\underbrace{888 \cdots88}_{\text{x个}}\equiv 0\space (mod\space L)最小的符合条件的正整数x\).
即 \((10^x-1) \cdot\frac{8}{9}\equiv0\space(mod\space L)\)
\(9n|8(10^x-1)\)
\(\because gcd(8,9)=1,gcd(\frac{n}{gcd(L,8)},\frac{L}{gcd(L,8)})=1\)
\(\therefore 10^x\equiv1(mod\space \frac{9n}{gcd(L,8)})\)
注意到与此时x应严格大于0，在处理时，不能使 \(x=A \left \lceil \sqrt p \right \rceil - B\) （\(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil} \equiv ba^B \pmod p\)）的B不能为\(\left \lceil \sqrt p \right \rceil\)，第一次循环处理到\(\left \lceil \sqrt p \right \rceil-1\).
时间复杂度\(O(\sqrt L)\)
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 150000
ll hs[N],nxt[N],hd[N],val[N];
ll cnt;
void ins(ll x,ll v){
ll p=x%N;
hs[++cnt]=x;
val[cnt]=v;
nxt[cnt]=hd[p];
hd[p]=cnt;
}
ll fd(ll x){
ll p=x%N;
for(ll i=hd[p];i!=-1;i=nxt[i]){
if(hs[i]==x){
return val[i];
}
}
return -1;
}
ll __gcd(ll a,ll b){
return b==0?a:__gcd(b,a%b);
}
ll mul(ll a,ll b,ll c){
if(a<b){
swap(a,b);
}
ll ret=0,tmp=a;
while(b){
if(b&1){
ret+=tmp;
if(ret>=c) ret-=c;
}
tmp<<=1;
if(tmp>=c) tmp-=c;
b>>=1;
}
return ret%c;
}
int main(){
ll n;
ll cs=0;
while(scanf("%lld",&n),n){
cnt=0;
memset(hd,-1,sizeof hd);
ll p=9*n/__gcd(n,8ll),a=10,b=1;
if(__gcd(p,a)!=1){
printf("Case %lld: 0\n",++cs);
continue;
}
ll sqp=ceil(sqrt((double)p));//square root of p
ll rs=b,ap=1,ls=1;//rs/ls: right/left side
//ap: sqp-th power of a
for(ll i=1;i<sqp;++i){
rs=(rs*a)%p;
ap=(ap*a)%p;
ins(rs,i);
}
if(sqp) ap=(ap*a)%p;
bool f=0;
for(ll i=1;i<=sqp;++i){
ls=mul(ls,ap,p);// ls=a^{i*\sqrt{p}}
ll j;
if((j=fd(ls))!=-1){
f=1;
printf("Case %lld: %lld\n",++cs,((i*sqp-j)%p+p)%p);
break;
}
}
if(!f){
printf("Case %lld: 0\n",++cs);
}
}
return 0;
}
另外本题还有另一种解法
易证:\(a\perp n, a^x \equiv 1(mod\space n)\)的最小整数解使\(\varphi(n)\)的约数，枚举约数即可。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<utility>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll __gcd(ll a,ll b){
return b==0?a:__gcd(b,a%b);
}
ll mul(ll a,ll b,ll c){
if(a<b){
swap(a,b);
}
ll ret=0,tmp=a;
while(b){
if(b&1){
ret+=tmp;
if(ret>=c) ret-=c;
}
tmp<<=1;
if(tmp>=c) tmp-=c;
b>>=1;
}
return ret%c;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll c){
ll ret=1,tmp=a;
while(b){
if(b&1){
ret=mul(ret,tmp,c);
}
tmp=mul(tmp,tmp,c);
b>>=1;
}
return ret%c;
}
int main(){
ll n;
ll cs=0;
while(scanf("%lld",&n),n){
ll p=9*n/__gcd(n,8ll);
if(__gcd(p,10)!=1){
printf("Case %lld: 0\n",++cs);
continue;
}
ll fai=p,t=p,r=sqrt(p);
for(ll i=2;i<=r;++i){
if(t%i==0){
fai=fai/i*(i-1);
t/=i;
while(t%i==0){
t/=i;
}
}
}
if(t>1){
fai=fai/t*(t-1);
}
r=sqrt(fai);
ll ans=1e18;
bool f=0;
for(ll i=1;i<=r;++i){
if(fai%i==0){
if(qpow(10,i,p)==1){
ans=min(ans,i);
f=1;
}
if(qpow(10,fai/i,p)==1){
ans=min(ans,fai/i);
f=1;
}
}
}
printf("Case %lld: %lld\n",++cs,f?ans:0);
}
return 0;
}
