NOIP2016题目简析

chunlvxiong的博客

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DAY1：

T1：玩具谜题

　　直接模拟即可，对于每次操作直接计算出下一位置，时间复杂度O(M)。

T2：天天爱跑步

　　一个简单的做法：你可以预处理计算出所有si和ti的LCA，然后对于每个观察员，判断它是否在si到ti的道路上，如果是计算出到达它的时间，如果与其观察时间相符，则其能观察人数+1。但时间复杂度O(NM)要T。

　　我们把s到t的路径分成两段：s到LCA，LCA到t。

　　先考虑s到LCA的那段路：

　　如果处于x位置的观察员能够观察到此人，需满足条件：dis[s]-dis[x]=w-->dis[s]=dis[x]+w

　　你可以开一个桶来快速统计：一旦遇到一个s点，那么把dis[s]所在位置+1，然后统计x点时，由于x点可以统计的范围仅限于它的所有子树（包括它自己），所以你可以把dfs所有子树之后的dis[x]+w位置的值与dfs之前的dis[x]+w位置的值求差来快速得到x点经过的人数。

　　遇到LCA的时候，你要把对应的s的dis[s]所在位置-1。

　　再考虑LCA到t的那段路：

　　如果处于x位置的观察员能够观察到此人，需满足条件：len(s,t)-(dis[t]-dis[x])=w-->dis[x]-w=dis[t]-len(s,t)

　　你可以类似上述进行开一个桶进行统计，但是需要注意，这里可能出现负数，需要将其转化为正数。

　　还有一点需要注意的，就是LCA这个点可能会被重复计算，最后需要减去。

　　这样统计的总复杂度为线性的，就可以AC了。

T3：换教室

　　首先你肯定需要预处理出教室之间的两两距离。v≤300，考虑floyd计算最短路。

　　然后考虑概率DP：

　　用dp[i][j][0]表示第i个时间段申请了j次，当天没申请的期望。

　　用dp[i][j][1]表示第i个时间段申请了j次，当天申请了的期望。

　　方程如下：

　　dp[i][j][0]=min{dp[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]，

　　　　　　　　dp[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]}

　　dp[i][j][1]=min{dp[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]，

　　　　　　　　dp[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]}

　　初值：dp[1][0][0]=dp[1][1][1]=0

　　最终ans=min{dp[n][i][0]，dp[n][i][1]|0≤i≤m}

 

DAY2：

T1：组合数问题

　　由于k的值是固定的，你可以先花O(2000^2)的复杂度进行预处理，计算出每个C(n,m)。

　　但是这样对于询问是不起帮助的，由于题目要求0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)，所以你很快想到前缀和，这样询问就变成O(1)的了。

T2：蚯蚓

　　最简单朴素的想法：记录下所有蚯蚓的长度，每次找最大值。

　　每次找最大值可以用堆维护，但是m高达7*10^6，会T。

　　所以你不得不寻找更优的算法。

　　可以发现这样一个事实：后切断的蚯蚓长度一定小于先切断的蚯蚓的两段的长度之和==后切段的蚯蚓的两段长度一定分别小于先切断的蚯蚓的两段长度。

　　理由很简单：本来就比你短，后来每次只增长q，而你每次增长2q，肯定一直比你短。

　　那么也就是说你可以开三个队列进行维护：第一个队列存排好序后的原序列，第二个队列存切成两段后的第一段的序列，第三个队列存切成两段后的第二段的序列，每次的最大值就是三个序列队头元素的最大值，令该元素出队，然后把新的元素直接加入第二、三个序列的末尾即可。

　　小转化：其它蚯蚓全部增长q==被切断的蚯蚓的两段长度分别减少q，这样减少了运算次数，需要使用原值时可以用数值+i*q来得到原长。

　　这样你可以得到一个线性复杂度的做法，就可以A掉此题。

T3：愤怒的小鸟

　　n≤18-->状压DP。

　　朴素的转移：由于一般情况下，一次可以至少打两只猪（特殊情况除外，例如两鸟的x值相同等），所以你对于每个状态，穷举打哪两只猪，然后在O(N)横扫，还可以打掉哪些猪，然后转移到新状态，时间复杂度O(2^N * N^3)=T

　　实际上你可以先O(N^3)预处理出打两只猪时还可以打掉哪些猪（存成一个状态），到时候对于每个状态，穷举打哪两只猪，然后直接|运算即可得到新状态。注意：不要忘了穷举只打一只猪的情况。时间复杂度O(2^N * N^2)。

　　由于有很多情况和状态是不需要转移的，所以这个复杂度是可以A掉此题的。