成考数学知识点 高起专

考试携带工具:身份证原件、准考证、0.5mm黑色签字笔,2B铅笔,橡皮,铅笔刀,涂改液/胶带、简易计算器等

 

集合

奇函数,偶函数

三角函数

概率

最小正周期

抛物线,准线方程

双曲线,渐近线

函数求导,以及最大值和最小值问题

根据椭圆的焦点和长轴的长度,得到方程

集合 

https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%9B%86%E5%90%88/4743627?fr=aladdin

(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N
(2)非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N+(或N*)
(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z
(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q
(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R
(6)复数集合计作C

根号2=1.414

根号3=1.732

根号5=2.236 

 不含有任何元素的集合,叫做空集。空集包含于任何集合,是非空集合的真子集

 

 

集合的表示方法有几种?

表示集合的方法通常有四种,即列举法  、描述法  、图像法和符号法 。

1,列举法

列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式 [7]  。例如,光学中的三原色可以用集合{红,绿,蓝}表示;由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。

2,描述法

描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。

设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的,则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合:S={x|P(x)}。例如,由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。而有理数 和正实数集  则可以分别表示为  和   。

3,图像法

图像法,又称韦恩图法、韦氏图法,是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合,是集合的一种直观的图形表示法 。

4,符号法

有些集合可以用一些特殊符号表示

 

https://baike.baidu.com/item/%E8%A1%A5%E9%9B%86/5710889?fr=aladdin

集合论和数学的其他分支中,存在补集的两种定义:相对补集绝对补集
1、相对补集
AB 是集合,则A 在B 中的相对补集是这样一个集合:其元素属于B但不属于AB - A = { x| x∈B且x∉A}。 [1] 
2、绝对补集
给定全集U,有A⊆U,则AU中的相对补集称为A绝对补集(或简称补集),写作∁UA。 [2] 
注意:学习补集的概念,首先要理解全集的相对性,补集符号∁UA有三层含义:
1、A是U的一个子集,即A⊆U;
2、∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U;
3、∁UA是由U中所有不属于A的元素组成的集合,∁UA与A没有公共元素,U中的元素分布在这两个集合中。

 

 双曲线

双曲线的渐近线方程 课程https://www.bilibili.com/video/BV1Z7411E7Tx?p=1

焦点在x轴的双曲线,公式为x^2/a^2-y^2/b^2=1
焦点在y轴的双曲线,公式为y^2/a^2-x^2/b^2=1

双曲线的渐近线,令等式右侧为0,即可求得。


根据渐近线的位置,可将渐近线分为三类:水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数,其图象关于原点对称,x=0,y=0为其渐近线方程
当焦点在x轴上时 双曲线渐近线的方程是$$y=\pm \frac{b}{a}x$$
当焦点在y轴上时 双曲线渐近线的方程是y=[±a/b]x
焦距是2c, 而c^2=a^2+b^2
离心率e=c/a 也就是根号下1+b^2/a^2 范围是1到正无穷

对于双曲线,a为原点到与x轴交点,c为原点到与焦点(F1和F2)的距离,a^2+b^2=c^2,渐近线 与 x轴 还有 过双曲线与x轴交点并垂直于x轴的直线 组成的一个直角三角形的条边分别对应a、b、c。
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a,小于|F1F2|)的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线),即:│|PF1|-|PF2│|=2a。

 

 

椭圆

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴,长为 2a。

椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴,长为2b。

焦点距离:2c;

离心率:c/a。  e=c/a  

平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的动点P的轨迹,F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)

 

抛物线

https://www.bilibili.com/video/BV1nK411L76f

https://baike.baidu.com/item/%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B/2021428?fr=aladdin

标准方程
y^2=2px(p>0)
y^2=-2px(p>0)
x^2=2py(p>0)
x^2=-2py(p>0)
图形
范围
x≥0,y
 R
x≤0,y
 R
y≥0,x
 R
y≤0,x
 R
对称轴
X轴
y轴
顶点坐标
原点O(0,0)
焦点坐标
 ,0)
 ,0)
(0,
 )
(0,
 )
准线方程
离心率
e = 1
焦半径
对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为(
 ,y0),以简化运算。

 抛物线总结以及题目

https://wenku.baidu.com/view/149fa0335ef7ba0d4a733bed.html

抛物线的公式推导

 

 

 

 

 

两条直线相交于第一象限

https://zhidao.baidu.com/question/1838446888184391420.html

 

 

排列组合

排列  需要考虑元素的顺序

所谓排列,就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序

https://www.zhihu.com/question/26094736

 

这个公式需要注意的是:虽然书上每次讲到这个公式时一般以阶乘(factorial)的形式给出,但实际计算中,往往不用阶乘。

我的记法是:从大的数字开始往小乘,乘“小的数字那么多”个。

A33=3*2*1=3!

 组合  不考虑元素的顺序

 

 

于是,组合数公式就是在排列数公式上除以一个 m!。但实际计算中,往往不用阶乘。

我的记法是:从大的数字开始往小乘,乘“小的数字那么多”个,再除以“小的数字开始往小乘,乘小的数字那么多个”。

C33=3*2*1/(3*2*1)=1 

 

 A53是5个里面取出3个,并且每种不同的排序都单独算。

 

 

 

 

 

奇函数,偶函数

奇函数关于原点对称

偶函数关于y轴对称

 

不等式计算

解含绝对值的不等式只有两种模型,它的解法都是由以下两个得来:
(1)|X|>1那么X>1或者X<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3;
即)|X|>a那么X>a或者X<-a;(两根之外型)
(2))|X|<1那么-1<X<1;|X|<3那么-3<X<3
即))|X|<a那么-a<X<a;(两根之内型)

 

例题

x减1的绝对值小于1的解集是:0<x<2。 

分析过程如下:

x减1的绝对值小于1,可以写成:丨x-1丨<1。

分情况讨论:

x-1≥0时,则丨x-1丨=x-1,x-1<1,可得:x<2。进而可得:1≤x<2。

x-1<0时,则丨x-1丨=1-x,可得:1-x<1,可得x>0,又因为x<1,所以0<x<1。

故:1≤x<2,0<x<1,得:0<x<2。

需要注意的是,前面的假设条件,本身也是一个不等式,限定了x的范围。然后再配合绝对值的不等式,得到一个区间。

 

绝对值表示的是,距离远点的距离。如果|x|<=a,那么-a<=x<=a。 如果|x|>=b的话,那么x<=-b或x>=b

 

 

向量

向量AB+向量BC=向量AC

向量a(x1,y1),向量b(x2,y2),

如果两个向量垂直,那么x1x2+y1*y2=0

如果两个向量平行的话,y1/x1=y2/x2 即是x1y2-x2*y1=0

a+b=(x1+x2,y1+y2)

ma=(mx1,mx2)

 

基本初等函数

高等数学将基本初等函数归为五类:幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数 [1]  
数学分析将基本初等函数归为六类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数 [2]  。

幂函数

一般地,y=x^α(α为有理数)的函数,x是底数,幂是结果y,

即以底数自变量,幂为因变量指数为常数的函数称为幂函数。

例如函数y=x^0 、y=x^1、y=x^2、y=x^-1(注:y=x^-1=1/x、y=x^0时x≠0)等都是幂函数。 

 

 

指数函数

https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013301?fr=aladdin

一般地,y=ax函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 R 。

①a^n表示n个a相乘

②a^m*a^n=a^(m+n)   举例3^(5/3)3^(1/3)=3^(5/3+1/3)=3^2=9

③a^m/a^n=a^(m-n)

④(a^m)^n=a^(m*n)

⑤a^0=1(并且a!=0)

a^0=a^(m-m)=a^m/a^m=1

⑥a^(-m)=1/a^m  比如2^-3是1/8,而2^3=8

a^0=a^(m-m)=a^(m+(-m))=a^m*a^(-m)=1

负号撑伞

⑦a^(n/m)=a^n的开m次根

分号开方(分子在家,分母在外)

 

指数的运算法则:

1、[a^m]×[a^n]=a^(m+n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】

2、[a^m]÷[a^n]=a^(m-n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】

3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】 

4、[ab]^m=(a^m)×(b^m) 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】

 

x^(3/8)=3^(3/4),要把左边变成x,两边都做8/3次方。

(x^(3/8))^(8/3)=(3^(3/4))^(8/3)=3^2=9

 

对数函数

https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318?fr=aladdin

3^x=9,求解x。 3是底数,x是指数,9是幂

log3(3^x)=log3(9)=log3(3^2),也就是x=2

一般地,对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。

如果a^x =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数
一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

①log以a底1的对数=0  因为a^0=1

②log以a为底a的对数=1, 因为a^1=a

③log以a为底N的对数=b,要求N>0。

实际上是a^b=N,根据指数函数的图像可知,N必然是大于0的。

④log以10为底N的对数,简写为lgN 。 lg10^n=n

⑤log以a^m为底a^n的对数,为n/m

(a^m)^x=a^n, mx=n, x=n/m

⑥log以a^m为底b^n的对数,n/m*log以a为底b的对数

(a^m)^x=b^n ,

loga为底m^n的对数是,n*log以a为底m的对数。

⑦换底公式logaN=log以b为底N的对数/log以b为底a的对数

⑧log以a为底N的对数=1/log以N为底a的对数

根据换地公式进行推导,设对数为log(a)N,对数的倒数为1/log(a)N=1/(lgN/lga)=lga/lgN=log(N)a

⑨log以a为底M*N的对数,为log(a)M+log(a)N

⑩log(a)(M/N)=log(a)M-log(a)N

 

 

https://zhidao.baidu.com/question/1886064107916648268.html 

对数的运算法则:

1、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N    举例log410+log4(8/5)=log4(10*8/5)=log416=2

2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

3、log(a) M^n=nlog(a) M

4、log(a)b*log(b)a=1

5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a

㏒(1/9)81=㏒(9^-1)9^2=-2㏒(9)9=-2。

 

例题

lg5=m,求解lg2=?

lg2=lg(10/5)=log10-log5=1-m

 

 

三角函数

https://www.bilibili.com/video/BV1NE41117Dc

https://www.bilibili.com/video/BV1nb411Y7jC

运用两角和与差公式即可证明,具体公式介绍如下:

1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;

2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA;

3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB;

4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB;

5. tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana tanb)

6. tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana tanb)

7.sin2A=2sinAcosA

8.cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2

9. tan2A=2tanA/(1-(tanA)^2)

 

sinα=对边/斜边=y/r

cosα=邻边/斜边=x/r

tanα=对边/邻边=y/x

cotα=邻边/边=x/y

 

 

全STC

①(sinα)^2+(cosα)^2=1

②tanα*cotα=1

③tanα=sinα/cosα

诱导公式

奇变偶不变,符号看象限。 奇是指90°的奇数倍角,比如90,270;偶是指90°的偶数倍角,比如0,180,360

也可以说是"纵变横不变,符号看象限",纵可以看成是y轴,包含了90和270;横可以看成是x轴,包含了0,180,360

sin(α+90°)这里的α是锐角,加完之后,在第二象限。

 

三角函数的周期公式

三角函数周期公式:

y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h,则周期T=2π/ω。

y=Acot(ωx+φ)+h或y=Atan(ωx+φ)+h,则周期为T=π/ω。

 

三角形

A+B+C=180°

S=1/2*a*h

正弦定理

在任意△ABC中,角ABC所对的边长分别为abc,三角形外接圆的半径为R,直径为D。

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=D

一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。

 

 余弦定理

对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

 

 

三角形面积公式

已知三角形两边a,b,这两边夹角C,两夹边之积乘夹角正弦值的一半

 

 三线合一,即在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合(前提一定是在等腰三角形中,其它三角形不适用)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 点线距离,以及求关于直线的对称点问题

点到直线的距离

设直线 L 的方程为Ax+By+C=0,点 P 的坐标为(x0,y0),则点 P 到直线 L 的距离为:

 

 

 

求一个点关于一条直线对称点坐标的公式

当直线为一般直线,即其一般形式可表示为y=kx+b。

设所求对称点A的坐标为(a,b)。根据所设对称点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2,(b+d)/2),且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程,可以得到一个关于a,b的二元一次方程(1)

因为A、B两点关于已知直线对称,所以直线AB与该已知直线垂直。又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1,即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知),则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式:k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1,得到一个关于a,b的二元一次方程(2)

联立二元一次方程(1)、(2),得二元一次方程组,解得a、b值,即所求对称点A的坐标(a,b)。

 

例题,

求点(2,4)关于直线y=x的对称点坐标?

 

 

函数特性

一次函数,二次函数,正函数,反函数,指数函数,对数函数

①概念和函数图像

②定义域和值域

③单调性

④奇偶性

 

二次函数

一般地,把形如y=ax²+bx+c(a≠0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
交点式为 y=a(x-x1)(x-x2)(仅限于与x轴有交点的抛物线),
与x轴的交点坐标是A(x1,0)和B(x2,0)。
 
韦达定理
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a

 

反比例函数

一般的,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成

(k为常数,k≠0,x≠0) [1]  ,其中k叫做反比例系数,x是自变量,y是x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时,图象在一、三象限。k<0时,图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

 

概率

伯努利试验

设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生 k 次的概率为:

 

某同学每次投篮投中的概率为2/5.该同学投篮⒉次,只投中1次的概率为

P2(1)=C2(1)(2/5)^1*(1-2/5)*1

 

从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,这⒉个数都是偶数的概率为

一共有C52种取法,然后2个都是偶数的组合是C22。 所以概率是C22/C52

 

导数

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数。

所以说:函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:

表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。不能和某直线的垂直线相比

直线斜率通常用直线与(横)坐标轴夹角的正切表示或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示,tan45=1, tan135=-1

 

十字相乘法

十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

3x^2+2x-5=0

(x-1)(3x+5)=0

1   -1

3    5

左边是1,3。右边是-1,5。交叉相乘再相加等于2

写出来的时候,横着写。先写(x-1),再写(3x+5)

 

充分必要

如果A=>B,但是B不能=>A。那么A是B的充分不必要条件。  这里其实,也可以说B是A的必要不充分条件。

举例,A:一个图形是正方形,B:一个图形是平行四边形。

看箭头,头B是尾A的必要条件,A尾是头B的充分条件。 

 

如果A=>B,并且B=>A。那么A是B的充分必要条件。

 

如果A不能=>B,但是B=>A。那么A是B的必要不充分条件。

 

https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%80%E8%88%AC%E6%96%B9%E7%A8%8B/338484?fr=aladdin

圆的一般方程,圆心是(-D/2,-E/2)

 

点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离

d= |Ax0+By0+C|/根号下(A^2+B^2)

 

直线和圆的关系,

圆心到直线的距离d>r,相离。d=r,相切。 d<r,相交。

 

圆的标准方程

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

 

posted @ 2021-09-11 13:09  ChuckLu  阅读(117)  评论(0编辑  收藏  举报